1、中档大题规范练2立体几何与空间向量1.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD的中点. (1)求证：PO平面ABCD；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 因为PAPD，O为AD的中点，所以POAD，因为侧面PAD底面ABCD，所以PO平面ABCD .(2)解以O为原点，OC，OD，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1
2、，0)，P(0，0，1).(1，1，1)，设平面PDC的法向量为u(x，y，z)，(1，0，1)，(0，1，1).则取z1，得u(1，1，1)，B点到平面PDC的距离d.(3)解假设存在，则设 (01)，因为(0，1，1)，所以Q(0，1)，设平面CAQ的法向量为m(a，b，c)，则即所以取m(1，1，1)，平面CAD的法向量n(0，0，1)，因为二面角QACD的余弦值为，所以，所以321030，所以或3(舍去)，所以.2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2AD2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F2FE.(1)证明：平面DFC平面D1EC；(2)求二面角ADFC的
3、大小.(1)证明以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2).E为AB的中点，E点坐标为(1，1，0)，D1F2FE，(1，1，2)(，)，(0，0，2)(，)(，).设n(x，y，z)是平面DFC的法向量，则取x1得平面FDC的一个法向量n(1，0，1).设p(x，y，z)是平面ED1C的法向量，则取y1得平面D1EC的一个法向量p(1，1，1).np(1，0，1)(1，1，1)0，平面DFC平面D1EC.(2)解设q(x，y，z)是平面ADF的法向量，则q0，q0.取y1
4、得平面ADF的一个法向量q(0，1，1)， 设二面角ADFC的平面角为，由题中条件可知(，)，则cos |，二面角ADFC的大小为120. 3.如图所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4).因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值
5、为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1，1，0)，(0，2，4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2，1)是平面ADC1的一个法向量.取平面AA1B的一个法向量为n2(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.4.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，ADBC，PAABBCCD2，PD2，PAPD，Q为PD的中点.(1)证明：CQ平面PAB；(2)求二面角DAQC的余弦值.(1)证明如
6、图所示，取PA的中点N，连接QN，BN.在PAD中，PNNA，PQQD，所以QNAD，且QNAD.在APD中，PA2，PD2，PAPD，所以AD4，而BC2，所以BCAD.又BCAD，所以QNBC，且QNBC，故四边形BCQN为平行四边形，所以BNCQ.又CQ平面PAB，BN平面PAB，所以CQ平面PAB.(2)解如图，在平面PAD内，过点P作POAD于点O，连接OB.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.又POAD，APPD，所以PO，故AO1.在等腰梯形ABCD中，取AD的中点M，连接BM，又BC2，AD4，ADBC，所以DMBC2，DMBC，故四边
7、形BCDM为平行四边形.所以BMCDAB2.在ABM中，ABAMBM2，AOOM1，所以BOAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BO平面PAD.如图，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，D(0，3，0)，A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，0，)，C(，2，0)，则(，3，0).因为Q为DP的中点，故Q，所以.设平面AQC的法向量为m(x，y，z)，则可得令y，则x3，z5.故平面AQC的一个法向量为m(3，5).因为BO平面PAD，所以(，0，0)是平面ADQ的一个法向量.故cos，m.从而
8、可知二面角DAQC的余弦值为.5.在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC90，ABADPD1，CD2.(1)求证：BC平面PBD；(2)在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角QBDP为45？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.(1)证明平面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD平面ABCD，所以PDAD.如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，(1，1，0)，(1，1，0)，所以0，BCDB，又由PD平面ABCD，可得PDBC，因为PDBDD，所以BC平面PBD.(2)解平面PBD的法向量为(1，1，0)，(0，2，1)，设，(0，1)，所以Q(0，2，1)，设平面QBD的法向量为n(a，b，c)，(1，1，0)，(0，2，1)，由n0，n0，得令b1，所以n(1，1，)，所以cos 45，注意到(0，1)，得1，所以在线段PC上存在一点Q，使得二面角QBDP为45，此时1.
