1、高考资源网（） 您身边的高考专家江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（19）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1集合A=1，t中实数t的取值范围是_2若不等式x23x0的解集为M，函数f（x）=lg（1x）的定义域为N，则MN=_3如果p和q是两个命题，若p是q的必要不充分条件，则p是q的_条件4将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为_5已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为_6若tan=3，则=_7设变量x，y满足|x|+|y|1，则x+2y的最大值为_8函数的单调减区间为_9已知关于x的不等式（ax1
2、）（x+1）0的解集是，则实数a的取值范围是_10已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2013的值为_11在锐角ABC中，若A=2B，则的取值范围是_12已知函数f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，若对任意x（0，+），都有，则的值是_13若数列an满足a1+3a2+32a3+3n1an=，则an=_14已知a，b，c0，则的最小值为_二、解答题（共6小题，满分90分）15已知函数的值域为集合A，关于x的不等式的解集为B，集合，集合D=x|m+1x2m1（m0）（1）若AB=B，求实数a的取值范围；（2）若D
3、C，求实数m的取值范围16如图，在直角坐标系xOy中，锐角ABC内接于圆x2+y2=1已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）若的值；（2）若的值17某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设BDC=，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S（1）写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？18（16分）已知函
4、数f（x）=x2ln|x|，（）判断函数f（x）的奇偶性；（）求函数f（x）的单调区间；（）若关于x的方程f（x）=kx1有实数解，求实数k的取值范围19（16分）若数列an的相邻两项an，an+1是关于x的方程x22nx+bn=0，（nN*）的两根，且a1=1（1）求证：数列是等比数列（2）设是Sn数列an的前n项和，问是否存在常数，使得bnSn0对任意nN*都成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由20（16分）已知函数，（1）若xa时，f（x）1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围四、加试部分21已知M=，计算M522
5、已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标23袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望24设函数f（x）=xsinx，数列an满足an+1=f（an）（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0a11，求证：0an1对任意nN*恒成立江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（19）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1集合A=1，t中实数t的取值范围是t|t1考点：集合的确定性、互异性、无序性 专题：计算题分析：根据集合元素的互异
6、性及已知中集合A=1，t，及分析出实数t的取值范围，写成集合形式即可解答：解：集合A=1，t由集合元素的互异性可得t1故实数t的取值范围是t|t1故答案为：t|t1点评：本题考查的知识点是集合元素的互异性，熟练掌握集合元素的性质并真正理解，是解答的关键2若不等式x23x0的解集为M，函数f（x）=lg（1x）的定义域为N，则MN=（，3考点：一元二次不等式的解法；对数函数的定义域 专题：不等式的解法及应用分析：分别解不等式可得集合M，N，由并集的定义可得答案解答：解：由不等式x23x0可得0x3，故M=x|0x3；由1x0可得x1，故N=x|x1所以MN=x|0x3x|x1=（，3故答案为：（
7、，3点评：本题考查集合并集的运算，解对不等式正确写出集合M，N是解决问题的关键，属基础题3如果p和q是两个命题，若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：转化思想分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是p的必要不充分条件，进而根据充要条件的定义得到答案解答：解：p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是p的必要不充分条件，是解答的关键4将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数
8、g（x）的图象，则g（x）的解析式为考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：直接利用左加右减、上加下减的平移原则，推出平移后的函数解析式即可解答：解：将函数的图象向左平移个单位，得到=，再向下平移1个单位，得到函数的图象，所以g（x）的解析式为故答案为：点评：本题考查三角函数的图象的平移变换，值域左加右减以及上加下减的法则，值域平移的方向与x的系数的关系5已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为考点：平面向量数量积的含义与物理意义 专题：平面向量及应用分析：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，代值计算即可解答：解：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，
9、而=cos=故答案为：点评：本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的定义是解决问题的关键，属基础题6若tan=3，则=考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：计算题；三角函数的求值分析：利用同角三角函数的关系，弦化切，利用tan=3，即可求得结论解答：解：=tan=3，=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的关系，考查学生的计算能力，利用同角三角函数的关系，弦化切是关键7设变量x，y满足|x|+|y|1，则x+2y的最大值为2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：化约束条件为不等式组，进而作出其对应的平面区域，变形目标函数经平移直线得最优解，代值得答案解答：解：约束条件|x|+|y|
10、1可化为：其表示的平面区域如图所示的正方形及内部：设目标函数z=x+2y，变形可得y=，经平移直线可知当直线经过点（0，1）时z=x+2y取最大值2故答案为：2点评：本题考查简单线性规划，画出满足条件的可行域及确定最优解是解决问题的关键，属中档题8函数的单调减区间为（，1），（1，+）考点：函数单调性的判断与证明 专题：计算题分析：函数的定义域x1，由于函数=，对函数求导可得恒成立，从而可求函数的单调递减区间解答：解：函数的定义域x1函数=恒成立函数f（x）=的单调递减区间为：（，1），（1，+）故答案为：（，1），（1，+）点评：本题主要考查了函数单调区间的求解，利用了函数的导数的知识求解，
11、本题还可以利用函数的单调性的定义或结合反比例函数y=的单调区间的求解9已知关于x的不等式（ax1）（x+1）0的解集是，则实数a的取值范围是1a0考点：一元二次不等式的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：对于小于零型的一元二次不等式，它的解集应该在两根之间而对于题中不等式的解集为，是两根之外，说明原不等式不是标准型，与标准型相差了一个负号故可得a0且，联解这两个不等式可得实数a的取值范围解答：解：由题意，实数a不为零，不等式（ax1）（x+1）0可化为：而不等式的解集为说明一方面a0，另一方面解之得1a0实数a的取值范围是1a0故答案为：1a0点评：本题以一元二次不等式的解集为例，考查
12、了一元二次方程与不等式的联系等知识点，属于基础题10已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2013的值为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和 专题：综合题；导数的概念及应用分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论解答：解：由f（x）=x2+bx求导得：f（x）=2x+b，函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，f（1）=2+b=3，b=1，f（x）=x2+
13、x所以f（n）=n（n+1），=S2013的值为1+=1=故答案为：点评：本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题11在锐角ABC中，若A=2B，则的取值范围是（，）考点：正弦定理 专题：解三角形分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围解答：解：A=2B，根据正弦定理=得：=2cosB，A+B+C=180，3B+C=180，即C=1803B，C为锐角，30B60，又0A=2B90
14、，30B45，cosB，即2cosB，则的取值范围是（，）故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键12已知函数f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，若对任意x（0，+），都有，则的值是6考点：函数单调性的性质；函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由函数f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，且f（f（x）=2，知f（x）为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）=n，f（n）=2，所以n+=2，解得n=1，由此能求出f（）=6解答：解：函数f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，且f（f（x）=2，f（x）为一个常
15、数，令这个常数为n，则有f（x）=n+，且f（n）=2再令x=n可得 n+=2，解得n=1，因此f（x）=1+，所以f（）=6故答案为：6点评：本题考查利用函数的单调性求函数值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题13若数列an满足a1+3a2+32a3+3n1an=，则an=考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：利用递推式的意义即可得出解答：解：a1+3a2+32a3+3n1an=，当n2时，a1+3a2+32a3+3n2an1=，3n1an=，化为an=当n=1时，a1=an=，故答案为：，点评：本题考查了递推式的应用，属于基础题14已知a，b，c0，则
16、的最小值为考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：注意到分母只有ab，bc，拆分分子为+，利用基本不等式性质即可得出解答：解：，当且仅当，取等号的最小值为故答案为：点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题二、解答题（共6小题，满分90分）15已知函数的值域为集合A，关于x的不等式的解集为B，集合，集合D=x|m+1x2m1（m0）（1）若AB=B，求实数a的取值范围；（2）若DC，求实数m的取值范围考点：对数函数的值域与最值；指数函数综合题 专题：函数的性质及应用分析：（1）利用对数函数的单调性求对数函数的值域A，解指数不等式求出B，再根据AB可得1，由此求得实数a的取值范
17、围（2）解分式不等式 求得C，对于集合D=x|m+1x2m1（m0），由DC，分D=和 D两种情况，分别求出实m的取值范围，再取并集，即得所求解答：解：（1）因为f（x）在，4上，单调递增，f（ ）=2，f（4）=log44=1，所以，A=2 1又由关于x的不等式 可得 （2）3xa2x，3xax x，所以，B=（，）又AB=B，AB所以，1，a4，即实数a的取值范围为（，4）（2）因为 ，所以有 ，所以1x5，所以，C=（1，5，对于集合D=x|m+1x2m1（m0），若DC，有：当 m+12m1时，即 0m2时，D=，满足 DC当 m+12m1 时，即 m2时，D，所以有：，解得2m3，又
18、 m2，2m3综上：由可得：实m的取值范围为（0，3点评：本题主要考查利用对数函数的单调性求值域，指数不等式、分式不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题16如图，在直角坐标系xOy中，锐角ABC内接于圆x2+y2=1已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）若的值；（2）若的值考点：三角函数的恒等变换及化简求值；直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：（1）将k=tanB=代入，利用余弦定理求出sinB；利用三角形的内角和为、三角函数的诱导公式、二倍角公式求出值（2）将直线方程与圆方程联立，消去y，利用韦达定理得到A，B的横坐标的
19、关系，利用单位圆中的三角函数的定义，将sin（+）用A，B的坐标表示，求出值解答：解：（1）变式得：，原式=；（2）点评：在解三角形时，若已知条件中有边的平方一般思路考虑余弦定理；注意在单位圆中，角的正弦、余弦值是角终边与单位圆交点的坐标17某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设BDC=，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S（1）写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程
20、S最少？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用 专题：综合题分析：（1）在BCD中先利用正弦定理求得BD，和CD的表达式，进而表示出AD，则总路程S与的关系可得（2）对函数S进行求导，令S=0求得cos的值，进而根据导函数判断函数的单调性的方法，可推断出当时，当和当函数的单调性和函数的最小值，进而求得总路程最小时AD的长解答：解：（1）在BCD中，则，其中（2）令S=0，得当时，S0，S是的单调减函数；当时，S0，S是的单调增函数当时，S取得最小值此时，=点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决实际问题的能力18（16分）已知函数f（x）=x2
21、ln|x|，（）判断函数f（x）的奇偶性；（）求函数f（x）的单调区间；（）若关于x的方程f（x）=kx1有实数解，求实数k的取值范围考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断 专题：综合题；压轴题分析：（）根据函数f（x）的解析式，求得f（x），看f（x）与f（x）的关系式，进而判断函数的奇偶性（）先看当x0时，根据导函数f（x）大于0或小于0时的f（x）的单调区间，再根据函数的奇偶性判断求得其它的单调区间（）要使方程f（x）=kx1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx1有交点，先看当k0时，用导函数求出当直线y=kx1与f（x）的图象相切时
22、k的值，再根据对称性求出k0时直线y=kx1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx1有实数解，求实数k的取值范围解答：解：（）函数f（x）的定义域为x|xR且x0f（x）=（x）2ln|x|=x2lnx=f（x）f（x）为偶函数（）当x0时，若，则f（x）0，f（x）递减；若，则f（x）0，f（x）递增递增区间是和；递减区间是和（）要使方程f（x）=kx1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx1有交点函数f（x）的图象如图先求当直线y=kx1与f（x）的图象相切时k的值当k0时，f（x）=x（2lnx+1）设切点为P（a，f（a），则切线方程为yf（a）=f（a）（
23、xa），将x=0，y=1代入，得1f（a）=f（a）（a）即a2lna+a21=0（*）显然，a=1满足（*）而当0a1时，a2lna+a210，当a1时，a2lna+a210（*）有唯一解a=1此时k=f（1）=1再由对称性，k=1时，y=kx1也与f（x）的图象相切，若方程f（x）=kx1有实数解，则实数k的取值范围是（，11，+）点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用在解决函数的单调性问题时，常利用导函数的性质19（16分）若数列an的相邻两项an，an+1是关于x的方程x22nx+bn=0，（nN*）的两根，且a1=1（1）求证：数列是等比数列（2）设是Sn数列an的前n项和
24、，问是否存在常数，使得bnSn0对任意nN*都成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由考点：数列的应用 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意，可利用根与系数的关系得出an+an+1=2n，观察发现an+1=（an），由此方程可以得出数列是等比数列；，对任意正偶数n都成立，求出，的最小值即可得到参数的取值范围，若此范围是空集则说明不存在，否则，存在解答：解：（1）an+an+1=2n，an+12n+1=（2nan）2n+1=an+2n（1）=（an），数列是首项为a1=，公比为1的等比数列（2）由（1）得an=2n（1）n，Sn=a1+a2+an=（2+22+2n）（1）+（1）
25、2+（1）n）=2n+12=又bn=anan+1=2n（1）n2n+1（1）n+1=2n+1（2）n1bnsn0，2n+1（2）n12n+120，当n为奇数时，2n+1（2）n1（）0，（2n+1）对n奇数都成立，1；当n为偶数时，2n+1（2）n1（）0，（2n+1+1）对n偶数都成立，综上所述，的取值范围为1点评：本是考查数列与不等式的综合，此类题一般难度较大，解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列通项求和的技巧，本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，对于不等式恒成立求参数的问题，本题采用了分离常数法的思想将参数独立出来，通过求关于n的代数式的最小值求
26、出参数的取值范围，本题考查了转化化归的思想，方程的思想，构造法的技巧，综合性强，技巧性强，题后应注意总结本题解法上的规律20（16分）已知函数，（1）若xa时，f（x）1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围考点：指数函数综合题；二次函数的性质 专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）令2x=t，则有0t2a，f（x）1当xa时恒成立，可转化为，分离参数可得在t（0，2a）上恒成立，求出右边的最值，即可得到结论；（2）当xa时，f（x）=x2ax+1，利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值；当xa时，f（x）=4x42xa，令2x=t
27、，t（0，2a），利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值，从而可得函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围解答：解：（1）因为xa时，f（x）=4x42xa，所以令2x=t，则有0t2a，所以f（x）1当xa时恒成立，可转化为，即在t（0，2a）上恒成立，令，则，所以在（0，2a）上单调递增，所以，所以有：所以，所以（2a）25，所以所以（2）当xa时，f（x）=x2ax+1，即，当，a0时，此时对称轴在区间左侧，开口向上，所以f（x）在a，+）单调递增，所以f（x）min=f（a）=1；当，4a0时，此时对称轴在区间内，开口向上，所以f（x）在单调递减，在单调递增，所以所以由可得
28、：当xa时有：当xa时，f（x）=4x42xa，令2x=t，t（0，2a），则，当，22a2，时，h（t）在单调递减，在上单调递增；当，22a2，时，h（t）在（0，2a）单调递减，h（t）（h（2a），h（0）=（4a4，0）所以，此时，h（t）在（0，2a）上无最小值；所以由可得当xa时有：当时，；当时，无最小值所以，由可得：当时，因为，所以函数；当时，因为4a401，函数f（x）无最小值；当4a0时，函数f（x）无最小值综上所述，当时，函数f（x）有最小值为；当时，函数f（x）无最小值所以函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围为（16分）点评：本题考查分段函数，考查函数的最
29、值，考查配方法的运用，考查分离参数法，属于中档题四、加试部分21已知M=，计算M5考点：几种特殊的矩阵变换；特征值与特征向量的计算 专题：计算题分析：分别求出特征值所对应的特征向量，然后将向量用两特征向量线性表示，根据公式M5=M5（43）=4（M4）3（M5）=43，进行求解即可解答：解：矩阵M的特征多项式为f（）=（3）（+1）由f（）=0，得1=3，2=1，从而求得对应的一个特征向量分别为=，= 令所以求得m=4，n=3M5=M5（43）=4（M5）3（M）=43=43（1）5=点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题22已知圆的极
30、坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化 专题：选作题分析：先将方程：展开并化为2=2cos2sin，再利用公式x=cos，y=sin即可化为普通方程解答：解：由，得=2cos2sin，2=2cos2sin，x2+y22x+2y=0，即（x1）2+（y+1）2=2圆心直角坐标是（1，1），圆心的极坐标为点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键23袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望考点
31、：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题 专题：概率与统计分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，得分X的分布列为X5678PEX=点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是2015届高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24设函数f（x）=xsinx，数列an
32、满足an+1=f（an）（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0a11，求证：0an1对任意nN*恒成立考点：数学归纳法；数列与函数的综合 专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）直接利用函数f（x）=xsinx，数列an满足an+1=f（an），可得a3a20，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2sin2（0，2），所以sina20，所以a3a2=sina20，所以a2a3（2）证明：n=1时，结论成立；设n=k时，0ak1，则当n=k+1时，ak+1ak=sinak0，即ak+1ak1，当x（0，1）时，f（x）=1cosx0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以ak+1=f（ak）f（0）=0，即0ak+11即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0a11时，0an1对任意nN*恒成立，点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键高考资源网版权所有，侵权必究！
