1、第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 【自主预习】1.椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_(大于|F1F2|)的点的轨迹.(2)焦点:两个定点F1,F2.常数(3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_(常数)且2a_|F1F2|.2a 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 _ _ 图 形 2222xy1 ab0ab2222yx1 ab0ab焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 _ _ a,b,c的 关系 _(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a2=b2+c2【即时
2、小测】1.椭圆 =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭 圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=_.22xy94【解析】由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=6,所以|PF2|=6-|PF1|=6-4=2.答案:2 2.椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为_,焦距为_.【解析】把方程化为标准形式为 =1,可知焦点 在y轴上,则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9,则c=3,所以焦点为(0,3),焦距为2c=6.答案:(0,3)6 22xy1625 【知识探究】探究点1 椭圆的定义 1.平面内动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a)且2a|F1F2|,若2a=|F1
3、F2|,则M的轨迹是什么?若2a|F1F2|,则M的轨迹是什么?提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2abc一定成立吗?提示:不一定,只要ab,ac即可,b,c大小关系不定.2.根据椭圆方程,如何确定焦点位置?提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的轴上.【归纳总结】对椭圆标准方程的两点认识(1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点 在x轴或y轴上.(2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是关于 与 的平方和,并且分母为不相等的正值.xayb特别提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也不同.类型一 求椭圆的标准方程【典例】1.(2
4、016武汉高二检测)过点(-3,2)且与 =1有相同焦点的椭圆的方程是()22xy9422222222xyxyA.1 B.11510225100 xyxyC.1 D.110151002252.根据下列条件,求椭圆的标准方程.(1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到 两焦点的距离和为26.(2)经过点 两焦点间的距离为2,焦点在x轴上.3P(1)2，【解题探究】1.典例1中已知椭圆的焦点在哪个轴上?提示:椭圆的焦点在x轴上,因为已知方程中x2项的分母较大.2.典例2(1)中焦点在y轴上的椭圆标准方程是怎样的?典例2(2)中焦点在x轴上的椭圆标准方程是怎样的?提示:(1)=
5、1(ab0).(2)=1(ab0).2222yxab2222xyab【解析】1.选A.由方程 =1可知,其焦点的坐标 为(,0),即c=.设所求椭圆方程为 =1(ab0),因为过点(-3,2),代入方程得 =1(ab0),解得a2=15(a2=3舍去).故方程为 =1.22xy94552222xyab2294aa522xy15102.(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 =1(ab0).因为2a=26,所以a=13,又c=5.所以b2=a2-c2=144.所以所求椭圆方程为 =1.2222yxab22yx169144(2)设椭圆的标准方程为 =1(ab0),因为焦点在x轴上,2c
6、=2,所以a2=b2+1,又椭圆经过点 所以 =1,解得b2=3,所以a2=4.所以椭圆的标准方程为 =1.2222xyab3P(1)2，22914b1b22xy43【延伸探究】将典例2(1)改为两个焦点坐标分别是(5,0),(-5,0),其他条件不变,求椭圆的标准方程.【解析】因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方 程为 =1(ab0),因为2a=26,所以a=13,又c=5.所以b2=a2-c2=144.所以所求椭圆方程为 =1.2222xyab22xy169144【方法技巧】求椭圆标准方程的方法 利用待定系数法求椭圆的标准方程:(1)先确定焦点位置.(2)设出方程.(3)寻求a,b,c
7、的等量关系.(4)求a,b的值,代入所设方程.特别提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴 上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2=1(mn,m0,n0).【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x轴上,且a=4,c=2.(2)经过点A(0,2)和 1B(3)2，【解析】(1)a2=16,c2=4,所以b2=16-4=12,且焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为 =1.22xy1612(2)设所求椭圆的标准方程为 Mx2+Ny2=1(M0,N0,MN).因为椭圆经过A(0,2)和 两点,所以 解得 所以所求椭圆方程为x2+=1.1B(3)2，M 0N 411
8、MN 3 14 ，M11N.4，2y4类型二 椭圆的定义及应用【典例】(2016潍坊高二检测)设P是椭圆 =1 上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若F1PF2=60,求F1PF2 的面积.22xy75254【解题探究】(1)你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|的大小吗?提示:(1)根据椭圆的定义即可写出.(2)在F1PF2中,怎样得到|F1F2|,|PF1|,|PF2|之间的关 系式?提示:在F1PF2中,利用余弦定理可以得到|F1F2|,|PF1|,|PF2|之间的关系式.【解析】由椭圆方程知,a2=25,b2=,所以c2=,所以c=,2c=5.在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1
9、|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|.75425452由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|.-,得3|PF1|PF2|=75,所以|PF1|PF2|=25,所以 =|PF1|PF2|sin 60=12FPFS1225 3.4【延伸探究】1.将典例中的“F1PF2=60”改为“F1PF2=30”,其余条件不变,求F1PF2的面积.【解析】由椭圆方程知,a2=25,b2=,所以c2=,所以c=,2c=5.在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
10、-2|PF1|PF2|cos30,即25=|PF1|2+|PF2|2|PF1|PF2|.754254523由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|.-,得(2+)|PF1|PF2|=75,所以|PF1|PF2|=75(2-),所以 =|PF1|PF2|sin 30=(2-).3312FPFS1275432.将典例中椭圆的方程改为“=1”,其余条件 不变,求F1PF2的面积.22xy10064【解析】|PF1|+|PF2|=2a=20,又|F1F2|=2c=12.由余弦 定理知:(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF
11、2|cos 60,即144=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|.所以|PF1|PF2|=,所以 =|PF1|PF2|sin 60=.256312FPFS1264 33【方法技巧】椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.【拓展延伸】椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结
12、合正弦定理、余弦定理等知识求解.【补偿训练】如图所示,已知椭圆的方程为 =1,若点P是椭圆上第二象限内的点,且PF1F2=120,求PF1F2的面积.22xy43【解题指南】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边 长.【解析】由已知a=2,b=,所以c=1,|F1F2|=2c=2,322ab4 3在PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|F1F2|cos 120,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.将代入解得|PF1|=.所以 即PF1F2的面积是 1 2PFF11 21
13、1633 3SPFFFsin 120222525 ，3 3.565类型三 与椭圆有关的轨迹问题【典例】1.(2016合肥高二检测)已知点M在椭圆 =1上,MP垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P,并且 M为线段PP的中点,则P点的轨迹方程为_.2.一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.22xy369【解题探究】1.典例1中动点P与哪个动点有关?本题可采用什么方法求动点P的轨迹方程?提示:动点P与点M有关.因为点M在已知椭圆上运动,所以本题可采用代入法求动点P的轨迹方程.2.典例2中两圆内切时能得到什么条件?提示:两圆内切时
14、,两圆的圆心距等于两圆的半径之差.【解析】1.设点P的坐标为(x,y),M点的坐标为(x0,y0),因为点M在椭圆 =1上,所以 =1.因为M是线段PP的中点,所以 把 代入 =1,得 =1,即x2+y2=36.22xy3692200 xy36900 xxyy2，00 xxyy2，2200 xy36922xy3636所以点P的轨迹方程为x2+y2=36.答案:x2+y2=36 2.两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可 得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,所以|MO1|+|MO2|=10.而|O1O
15、2|=6|AB|,所以圆心P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.所以2a=10,2c=|AB|=6.所以a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16.所以圆心P的轨迹方程为 =1.22xy2516【补偿训练】已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,求动点P的轨迹方程.【解析】因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=22=4|F1F2|.所以P的轨迹应是以F1,F2为焦点的椭圆.这里c=1,a=2.所以b2=3.所以轨迹方程为 =1.22xy43自我纠错 椭圆方程的应用【典例】若方程 =1表示椭圆,则m满足的条 件是_.22xym2m 1【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是忽视了在椭圆方程中ab这一条件,当a=b时,方程表示圆.正确解答过程如下:【解析】由方程 =1表示椭圆,知 解得m 且m1.答案:22xym2m 1m02m 10m2m 1，121m|mm12 且
