1、第六单元 数列 第一节 数列的概念与简单表示法基础梳理1.数列的概念(1)按照一定_排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的_(2)数列的一般形式可以写成_,简记为_,其中a1称为数列的第1项(或称为首项),a2称为第2项,an称为第n项次序 项 2.数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列项数_的数列;无穷数列项数_的数列a1,a2,a3,an,an 有限 无限 (2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类:递增数列从第二项起,每一项都_它的前一项的数列;递减数列从第二项起,每一项都_它的前一项的数列;常数列各项_的数列;摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,
2、有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系从函数观点看,数列可以看成以N*(或它的有限子集1,2,k)为定义域的函数anf(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值反过来,对于函数yf(x),如果f(i)(i1,2,3,n,)有意义,那么我们可以得到一个数列_大于小于相等f(1),f(2),f(3),f(n),4.数列的通项公式如果数列an的_可以用一个_来表示,那么这个公式叫做这个数列的_5.递推公式如果已知数列an的首项(或前n项),且_ _的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式6.数列的简单表示法:_、_、_、_.第n项与序号n之间的关系公式
3、通项公式的前一项an1(或前几项)间任一项an与它列举法列表法解析法图象法基础达标1nn1;k1.下列说法中不正确的有_数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7;数列1,0,1,2与数列2,1,0,1是相同的数列;数列的第k项为1 数列0,2,4,6,可记为2n 解析:根据数列的定义与集合定义的不同,可知、不正确;对于,2n中的nN*,故不正确;中an,ak1,正确1nn1k已知数列an的通项公式an2.(必修5P32练习4改编)(nN*),则是这个数列的第_项12n n 1120 解析:由题意知 ,nN*,解得n10,112012n n 1120故 是这个数列的第10项 3.已知a10,an
4、1 331nnaa(nN*),则a20的值是_ 解析:由a10和an1 ,可以计算a2 a3 ,a40,a5 ,以此类推,a20a2 .331nnaa03330 1 3334.(必修5P62复习题7改编)在数列an中,an,1n+n+1Sn9,则n_.解析:anSn9,n99.1=n+1-n,n+n+1=2-1+3-2+L+n+1-n=n+1-15.函数f(x)定义如下表,数列xn满足x05,且对任意的自然数均有xn1f(xn),则x2 011_.解析:x05,x1f(x0)f(5)2,x2f(x1)f(2)1,x3f(x2)f(1)5,x4f(x3)f(5)2,xn的值周期T3,则x2011
5、x67031x12.经典例题(4)1,0,1,0,;2310717,926,1137,;13(3),1,题型一 数列的概念及通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,;(2)1292252,2,8,;1315,0,0,.(5)1,0,分析 分析各项的特点,找出规律,归纳出结论,然后再进行验算,从而得出答案解:(1)中3可看作211,5可看作221,9可看作23 1,17可看作241,33可看作251,所以an2n1.(2)每一项的分母都是2,分子是相应项数的平方,所以an .22n(3)偶数项为负而奇数项为正,故通项公式必含因式(1)n1,观察各项绝对值组成的数列
6、,第2项1 从第1项到第6项可知,分母分别由奇数3,5,7,9,11,13组成,而分子则是121,221,321,421,521,621,按照这样的规律,此数列可改写为 所以an(1)n1 .55222222112131415161,2 12 2 1 2 3 12 4 1 2 5 12 6 1 21.21nn(4)数列中的1可看成 ,而0可看成 即an 1(1),2 1 1,21(1).2n (5)数列中偶数项均为0,奇数项的符号正负相隔,则想到用正弦、余弦函数来调整,若数列为1,0,1,0,1,0,则可用ansin 来表示,所以数列1,0,0,0,的 通项公式为an.2n1315sin 2n
7、n变式11 已知数列an的通项公式为an 22,1nn(1)0.98是不是它的项?(2)判断此数列的增减性 解:(1)令 0.98,解得n7N*,故0.98是此数列的项 221nn(2)an1anan1an,此数列是递增数列222222(1)210,(1)11(1)11nnnnnnn题型二 由递推公式求通项公式【例2】根据数列an的首项和递推公式,写出数列的前5项,并归纳出通项公式(1)a10,an1an(2n1)(nN*);(2)a11,an0(nN*),且(n1)an12nan2an1an0(nN*)分析 由首项和递推公式计算出前5项,分析各项特点,找 出规律,归纳出通项公式 解(1)a1
8、0,a2a1(211)1,a3a2(221)4,a4a3(231)9,a5a4(241)16;由a1(11)2,a2(21)2,a3(31)2,a4(41)2,a5(51)2可归纳出an(n1)2.(2)a11,an0(nN*)(11)a2a10a210a2;(21)2 a3a203 a3 06 a31=0a3;(31)3 a4a304 a4012 a410a4;(41)4a5a405 a5 020a51 0a5.由上面的结果可归纳出an.2221aa222a1222a23a23a121223a1323a24a24a131324a1424a25a25a141425a1n15(2011南通调研)
9、已知数列an满足:a12,an1(n2,3,4,)若数列an有一个形如anAsin(n)B的通项公式,其中A、B、均为实数,且A0,0,|an成立,求实数a的取值范围分析(1)由an1an可推出an1ana1a,再结合an1f(an)可列出关于a的方程;(2)结合an1f(an)列出不等式求解解:(1)由题意得an1ana,a,得a2或3,检验符合5a-6a(2)设an1an,即an,解得an0或2ana1成立,则a10或2a13.56nnaa当a10时,a2而a3a2即a3a2,不满足题意;当2a1an,满足题意综上所述,实数a的取值范围为(2,3)11156655,aaa22222256(
10、2)(3)0,aaaaaa16a26a56(2)(3)0,nnnnnnaaaaaa变式41 9110nnn 已知数列an的通项公式为an (nN*),试问数列an中有没有最大项?如果有,求出这个最 大项;如果没有,说明理由 an1an当n7时,an1an0,即an1an;当n8时,an1an0,即an1an;当n9时,an1an0,即an1an.综上可知,存在最大项,最大项为a8a90.989.1119991098()(2)()(1)()(2)(1)(),1010109109nnnnnnnnn链接高考(2010安徽)设数列an的前n项和Snn2,则a8的值为_知识准备:熟悉数列an的通项公式与前n项和公式的关系anSnSn1(n2)解析:a8S8S7644915.