1、第六单元 数列 第一节 数列的概念与简单表示法基础梳理1.数列的概念(1)按照一定_排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_(2)数列的一般形式可以写成_，简记为_，其中a1称为数列的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，an称为第n项次序 项 2.数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列项数_的数列；无穷数列项数_的数列a1，a2，a3，an，an 有限 无限 (2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列从第二项起，每一项都_它的前一项的数列；递减数列从第二项起，每一项都_它的前一项的数列；常数列各项_的数列；摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，
2、有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成以N*(或它的有限子集1，2，k)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值反过来，对于函数yf(x)，如果f(i)(i1,2,3，n，)有意义，那么我们可以得到一个数列_大于小于相等f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，4.数列的通项公式如果数列an的_可以用一个_来表示，那么这个公式叫做这个数列的_5.递推公式如果已知数列an的首项(或前n项)，且_ _的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式6.数列的简单表示法：_、_、_、_.第n项与序号n之间的关系公式
3、通项公式的前一项an1(或前几项)间任一项an与它列举法列表法解析法图象法基础达标1nn1;k1.下列说法中不正确的有_数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7；数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列；数列的第k项为1 数列0,2,4,6，可记为2n 解析：根据数列的定义与集合定义的不同，可知、不正确；对于，2n中的nN*，故不正确；中an，ak1，正确1nn1k已知数列an的通项公式an2.(必修5P32练习4改编)(nN*)，则是这个数列的第_项12n n 1120 解析：由题意知 ，nN*，解得n10，112012n n 1120故 是这个数列的第10项 3.已知a10，an
4、1 331nnaa(nN*)，则a20的值是_ 解析：由a10和an1 ，可以计算a2 a3 ，a40，a5 ，以此类推，a20a2 .331nnaa03330 1 3334.(必修5P62复习题7改编)在数列an中，an,1n+n+1Sn9，则n_.解析：anSn9，n99.1=n+1-n,n+n+1=2-1+3-2+L+n+1-n=n+1-15.函数f(x)定义如下表，数列xn满足x05，且对任意的自然数均有xn1f(xn)，则x2 011_.解析：x05，x1f(x0)f(5)2，x2f(x1)f(2)1，x3f(x2)f(1)5，x4f(x3)f(5)2，xn的值周期T3，则x2011
5、x67031x12.经典例题(4)1,0,1,0，；2310717,926,1137,;13(3)，1，题型一 数列的概念及通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33，；(2)1292252，2，8，；1315，0，0，.(5)1,0，分析 分析各项的特点，找出规律，归纳出结论，然后再进行验算，从而得出答案解：(1)中3可看作211,5可看作221,9可看作23 1,17可看作241,33可看作251，所以an2n1.(2)每一项的分母都是2，分子是相应项数的平方，所以an .22n(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(1)n1，观察各项绝对值组成的数列
6、，第2项1 从第1项到第6项可知，分母分别由奇数3,5,7,9,11,13组成，而分子则是121,221,321,421,521,621，按照这样的规律，此数列可改写为 所以an(1)n1 .55222222112131415161,2 12 2 1 2 3 12 4 1 2 5 12 6 1 21.21nn(4)数列中的1可看成 ，而0可看成 即an 1(1),2 1 1,21(1).2n (5)数列中偶数项均为0，奇数项的符号正负相隔，则想到用正弦、余弦函数来调整，若数列为1,0，1,0,1,0，则可用ansin 来表示，所以数列1,0，0，0，的 通项公式为an.2n1315sin 2n
7、n变式11 已知数列an的通项公式为an 22,1nn(1)0.98是不是它的项？(2)判断此数列的增减性 解：(1)令 0.98，解得n7N*，故0.98是此数列的项 221nn(2)an1anan1an，此数列是递增数列222222(1)210,(1)11(1)11nnnnnnn题型二 由递推公式求通项公式【例2】根据数列an的首项和递推公式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式(1)a10，an1an(2n1)(nN*)；(2)a11，an0(nN*)，且(n1)an12nan2an1an0(nN*）分析 由首项和递推公式计算出前5项，分析各项特点，找 出规律，归纳出通项公式 解(1)a1
8、0，a2a1(211)1，a3a2(221)4，a4a3(231)9，a5a4(241)16；由a1(11)2，a2(21)2，a3(31)2，a4(41)2，a5(51)2可归纳出an(n1)2.(2)a11，an0(nN*)(11)a2a10a210a2；(21)2 a3a203 a3 06 a31=0a3；(31)3 a4a304 a4012 a410a4；(41)4a5a405 a5 020a51 0a5.由上面的结果可归纳出an.2221aa222a1222a23a23a121223a1323a24a24a131324a1424a25a25a141425a1n15(2011南通调研)
9、已知数列an满足：a12，an1(n2,3,4，)若数列an有一个形如anAsin(n)B的通项公式，其中A、B、均为实数，且A0，0，|an成立，求实数a的取值范围分析(1)由an1an可推出an1ana1a，再结合an1f(an)可列出关于a的方程；(2)结合an1f(an)列出不等式求解解：(1)由题意得an1ana，a，得a2或3，检验符合5a-6a(2)设an1an，即an，解得an0或2ana1成立，则a10或2a13.56nnaa当a10时，a2而a3a2即a3a2，不满足题意；当2a1an，满足题意综上所述，实数a的取值范围为(2,3)11156655,aaa22222256(
10、2)(3)0,aaaaaa16a26a56(2)(3)0,nnnnnnaaaaaa变式41 9110nnn 已知数列an的通项公式为an (nN*)，试问数列an中有没有最大项？如果有，求出这个最 大项；如果没有，说明理由 an1an当n7时，an1an0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.综上可知，存在最大项，最大项为a8a90.989.1119991098()(2)()(1)()(2)(1)(),1010109109nnnnnnnnn链接高考(2010安徽)设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为_知识准备：熟悉数列an的通项公式与前n项和公式的关系anSnSn1(n2)解析：a8S8S7644915.