1、专题五立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号几何体三视图的识别1,2几何体三视图的相关计算4空间几何体的表面积5,7空间几何体的体积3,6,8,9,11多面体与球的切接问题10,12,13,14一、选择题1.(2016山东潍坊3月模拟)如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱DD1,BB1的中点,用过点A,E,C1,F的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体(下半部分)的侧视图为(C)解析:该几何体的侧视图即为其在面BCC1B1上的射影,又A点射影为点B,E点射影为线段CC1的中点,故选C.2.如图,一个棱柱的正视图和侧视
2、图分别是矩形和正三角形,则这个三棱柱的俯视图为(D)解析:由正视图和侧视图可知,这是一个横放的正三棱柱,一个侧面水平放置,则俯视图应为D.3.(2016河南郑州一测)如图是一个四面体的三视图,这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形,正视图和俯视图的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为(A)(A)(B)(C)(D)2解析:四面体的直观图如图A-BCD,所以V=(12)2=.4.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB的长为(B)(A)2(B)4 (C)(D)16解析:由已知中的三视图可得SC平面ABC,且底面ABC为等腰三角形,在ABC中AC=4,AC边上的高为2,故BC
3、=4,在RtSBC中,由SC=4,可得SB=4,故选B.5.(2016全国卷,文10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(B)(A)18+36(B)54+18(C)90 (D)81解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱,其表面积S=2(33+36+33)=54+18.故选B.6.(2016吉林白山二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于(C)(A)(B)2(C)(D)3解析:由三视图可知,该几何体是一个底面是梯形的直四棱柱,所以V=(2+3)11=.故选C.7.(2016湖南岳阳二模)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该
4、几何体的表面积是(B)(A)6(B)7(C)8(D)9解析:由三视图可知,该几何体是由圆锥(上方)与圆柱(下方)构成的组合体,其中圆锥与圆柱的底面半径r=1,圆锥的母线长l=2,圆柱的高H=2.则圆锥的侧面积S1=rl=12=2;圆柱的侧面积S2=2rH=212=4;圆柱的底面积S3=r2=12=.故该组合体的表面积S=S1+S2+S3=2+4+=7.8.(2015全国卷,文6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,
5、问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(B)(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛解析:设圆锥底面半径为r,因为米堆底部弧长为8尺,所以r=8,r=(尺),所以米堆的体积为V=()25(立方尺),又1斛米的体积约为1.62立方尺,所以该米堆有1.6222(斛),选B.9.(2014全国卷,文6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:由三
6、视图可知该零件是一个底面半径为2、高为4的圆柱和一个底面半径为3、高为2的圆柱的组合体,所以该组合体的体积V1=224+322=34,原来的圆柱体毛坯的体积为V=326=54,则切削掉部分的体积为V2=54-34=20,所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为=.故选C.10.(2016广西来宾调研)已知点A,B,C,D均在球O的球面上,AB=BC=1,AC=,若三棱锥D-ABC体积的最大值是,则球O的表面积为(C)(A) (B) (C)(D)6解析:设ABC的外接圆的半径为r,因为AB=BC=1,AC=,所以ABC=120,SABC=,所以2r=2.因为三棱锥D-ABC的体积的最大值为,所
7、以D到平面ABC的最大距离为,设球的半径为R,则12=(2R-),所以R=,所以球O的表面积为4R2=.故选C.二、填空题11.(2016四川卷,文12)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.解析:由三视图得,V=112=.答案:12.(2016吉林白山二模)一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上,若球心O到此正三角形所在平面的距离为,则球O的表面积为.解析:正三角形外接圆的半径r=3=,则球O的半径R=,所以S=4R2=40.答案:4013.(2016河南焦作一模)已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为的球与该棱柱的所有面均相切,那么这个三棱柱的侧
8、面积是.解析:设球的半径为r,则由已知得r3=,解得r=1.由题意可知,直三棱柱的高h=2r=2;设直三棱柱的底面边长为a,则该三角形的内切圆的半径为1,故a=1,解得a=2.所以三棱柱的侧面积S=3ah=322=12.答案:1214.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.解析:设球半径为R,圆锥底面半径为r,球心O到圆锥底面的距离d,则R2=r2+d2.又r2=4R2,所以r2=R2,所以d2=R2-r2=R2,所以d=R.所以较小圆锥的高h1=R-d=R.较大圆锥的高h2=R+d=R,=.答案:
