1、湖北省孝感市重点高中联考协作体2019-2020学年高二数学下学期联考试题（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集，集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 【分析】进行交集、补集的运算即可 【详解】x| 2x1； A（） x|1x 1 故选A 【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【详解】试题分析：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算
2、；2.复数的几何意义3. 已知命题：“，都有成立”，则命题为（ ）A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立【答案】D【解析】【详解】全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，的否定为命题为，有成立4. 函数的大致图象是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；当时，可排除D选项；当时，当时，即，可排除C选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象判断，函数对称性的应用，属于中档题5. 已知函数，则下列判断错误的是（ ）A. 为偶函数B. 的图像关于直线对称C. 的值域为 D. 的图
3、像关于点对称【答案】D【解析】【分析】化简f（x）1+2cos4x后，根据函数的性质可得【详解】f（x）1+cos（4x）sin（4x）1+2sin（4x）1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；4x得,当k=1时，B正确；因为2cos4x的值域为 ，C正确；故D错误故选D【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题6. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )
4、A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048【答案】A【解析】【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn2n1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn，可得当n10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S122121，则此数列前55项的和为S12234072，故选A【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的
5、系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的个数（ ）若则； 若，则；若，则； 若，则.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：根据直线与平面的位置关系的判定和性质，即可判定命题的真假.详解：对于中，若，则或，所以不正确；对于中，若，则，又由，所以是正确；对于中，若，则或与相交，所以不正确；对于中，若，则，又由，所以是正确的，综上正确命题的个数为2个，故选B.点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定理和性质定理及几何特征是解答的关键，
6、其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直8. 如图，在ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把转化为，得解【详解】解： ，故选D【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题.9. 等差数列和的前n项和分别为与，对一切正整数n，都有，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，再由，即可得出的值.【详解】
7、由等差数列的求和公式得，即满足型则可令，故选：A【点睛】本题主要考查了两个等差数列前项和之比的问题，属于中档题.10. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时
8、， )A. 1.24B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得：可得，解得，根据参考公式可得，故与最接近的是.故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.11. 已知离心率为的椭圆：（）和离心率为的双曲线：（，）有公共的焦点，P是它们在第一象限的交点，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理得出，最后由离心率公式以及基本不等式求解即可.【详解】由题意设焦距为，椭圆的长轴为，双曲线的实轴为在双曲线的右支上，
9、且在椭圆上则由椭圆的定义知由双曲线的定义知由余弦定理可得整理得当且仅当时等号成立故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的基本性质，涉及了基本不等式，余弦定理的应用，属于中档题.12. 已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令，则当时，又，所以为偶函数， 从而等价于，因此选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数，则_【答案】【
10、解析】【分析】发现，计算可得结果.【详解】因为，且，则.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.14. 若，则_.【答案】【解析】【分析】由题意可知为展开式中的系数，结合二项式定理求解即可.【详解】由题意可知为展开式中的系数的通项为故答案：【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.15. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可知，过的最长弦为直径，最短弦为过且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：由圆的方程
11、为，得最长的弦为圆的直径等于，圆心与点的距离，根据勾股定理得最短的弦长为，四边形的面积故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用和圆的弦长，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半是关键，考查数形结合的解题思想方法.16. 下列四个命题：函数的最大值为1；已知集合，则集合A的真子集个数为3；若为锐角三角形，则有；“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件.其中正确的命题是_.（填序号）【答案】【解析】【分析】由二倍角公式结合正弦函数的性质判断；由集合的知识判断；由锐角三角形的定义以及正弦函数的单调性，结合诱导公式判断；由二次函数的图象和性质，集合充分必要条件的定义判断
12、.【详解】由，得的最大值为，故错误；，则集合的真子集为，共有三个，故正确；为锐角三角形，则在上为增函数，同理可证，故正确；当时，函数在区间的解析式为，由对称轴可知，函数在区间内单调递增若函数在区间内单调递增，结合二次函数对称轴，可知，则即“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件.故正确；故答案为：【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，涉及了三角函数性质的应用，判断充分必要条件等知识，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 数列满足，（）（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求正整数的最小值【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】
13、(1)由题意整理所给的递推关系式，利用后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列；(2)结合(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后裂项求和可得的值，最后求解关于n的不等式即可确定正整数的最小值【详解】（1）由已知可得：，故：，所以数列是等差数列，首项，公差.（2）由（1）可得，解得，即正整数的最小值为17.【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列的通项公式，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】(1) ;(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角
14、方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用考查的很全面，是一道很好的考题.19. 随着网购人数的日益增
15、多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一.随着人们消费观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取100人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如图所示.（1）由大数据可知，在18到44岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比y与年龄
16、x成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比y与年龄x的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字）；（2）该网站年龄为20岁的注册用户共有2000人，试估算该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数；（3）已知该网店中年龄段在18-26岁和27-35岁的注册用户人数相同，现从18到35岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中简单随机抽取2人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在18到26岁的概率.参考答案：，.【答案】（1）；（2）1080人；（3）【解析
17、】【分析】（1）根据公式计算出，后可得；（2）将代入得，进而可得；（3）根据分层抽样可知随机抽取8人，年龄在18到26岁之间有5人，年龄在27-35之间有3人，再根据古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】（1）由题意， 所以，所求线性回归方程为. （2）由（1）知，该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为，而，所以估计该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数为1080人.（3）依题意，随机抽取8人，年龄在18到26岁之间有5人，年龄在27-35之间有3人，所以抽取的两人年龄都在18到26岁的概率为.【点睛】本题考查了求线性回归方程，考查了利用回归方程估计总体，考查了分层抽
18、样，考查了古典概型，属于中档题.20. 如图，三棱锥中，平面 ， 分别为线段上的点，且 (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由平面 ，可知，再分析已知由 得，这样与垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（ 2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于 ，平面，因此 两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面 和平面的法向量 ，向量 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论 试题解析：（1）证明：由PC平面 ABC，DE平
19、面，故PC DE 由CE，CD=DE 得为等腰直角三角形，故CDDE 由PCCD=C，DE 垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面 PCD （2）解：由（）知，CDE 为等腰直角三角形，DCE ，如（）图，过点作DF垂直CE于，易知DF FCEF，又已知EB ， 故FB 由ACB 得DFAC， ，故ACDF 以为坐标原点，分别以 的方程为x轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则（0,0,0,），（0,0,3），（ ,0,0）,（0,2,0 ），（1,1,0）， 设平面的法向量 ， 由 ， ， 得 . 由（1）可知DE 平面PCD，故平面PCD的法向量 可取为 ,即 . 从而法向量
20、， 的夹角的余弦值为 ， 故所求二面角A-PD-C的余弦值为 . 考点：考查线面垂直，二面角考查空间想象能力和推理能力 21. 已知椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知定点，若直线与椭圆相交于不同的两点、，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用原点到直线的距离为求出的值，再结合离心率的值求出的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合，可求出实数的值.【详解】（1）坐标原点到直线的距离为，所以，椭圆的离心率为，解得.因此，椭圆的标准方程为；（2）联立直线与椭圆的方程，消去
21、并整理得，解得或.由韦达定理得，.，同理，整理得，解得，满足.因此，实数的值为.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了利用椭圆中向量数量积的运算求参数值，考查运算求解能力，属于中等题.22. 已知函数.（）当时，求曲线在点处切线的方程；（）求函数的单调区间；（）当时，恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）.（2）时，的单调增区间为；单调减区间为和；时，的单调增区间为和；单调减区间为.（3）.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，代入，求得，再求，利用直线方程的点斜式求解即可.（2）求出，通过讨论的取值，分别求出，所对应的区间即为函数的单调区间.（3）当时恒成立等价于在恒成立，令，由
22、导数求出函数的最大值，即可求得的取值范围.【详解】（1），得.当时，即函数在处的切线斜率为0.又,故曲线在点处切线的方程为.(2).,若，由得；由得，又，所以在上单调递增，在和上单调递减.若，由得；由得，又，所以在和上单调递增，在上单调递减.综上所述，时，的单调增区间为；单调减区间为和.时，的单调增区间为和；单调减区间为.（3）时，恒成立,即在恒成立.令，则.则时，；，.在上单调递减，在上单调递增，则.【点睛】本题考查函数与导数综合运用.（1）利用导数研究曲线上一点处的切线方程；考查了导数的几何意义的应用.（2）利用导函数研究函数的单调性：，则函数单调递增；，则函数单调递减.（3）通过参变分离构造函数，利用导数处理恒成立中求参数问题，其中参变分离后将恒成立问题转化为函数的最值问题，是此问解题的关键步骤.
