1、四川省叙州区第二中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题 理（含解析）第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式得到集合，然后再求出即可【详解】由题意得，故选D【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，解题的关键是是通过解不等式得到集合，属于基础题2. 复数，则z的模为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的模的求法求解即可.【详解】复数,则z的模为:.故选：D.【点睛】本题考查复数的模的求法
2、.属于基础题.3. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，故选A4. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（ ）A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D. 该
3、家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当【答案】C【解析】【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.【详解】由折线图可知：不妨设2015年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，对于A，该家庭2019年食品的消费额为0.22t=0.4t，2015年食品的消费额为0.4t=0.4t，故A错误，对于B，该家庭2019年教育医疗的消费额为0.22t=0.4t，2015年教育医疗的消费额为0.3t=0.3t，故B错误，对于C，该家庭2019年休闲旅游的消费额是0.32t=0.6t，2015年休闲旅游的消费额是0.1t=0.1t，故C正
4、确，对于D，该家庭2019年生活用品的消费额是0.152t=0.3t，该家庭2015年生活用品的消费额是0.15t=0.15t，故D错误，故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5. 在中，是上一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的三角形法则和共线定理，即可得到结果【详解】因为是上一点，且，则 故选：C【点睛】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理的应用，属于基础题6. 某地区有10000名高三上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在(117,126之外的人数估计有
5、（ ）（附：若服从，则，）A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人【答案】A【解析】【分析】由,可得,进而由数据及对称性求得概率,即可求解.【详解】由题,所以,所以人,故选:A【点睛】本题考查正态分布的应用,考查由正态分布的区间及对称性求概率.7. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的函数值的正负、单调性，以及指数函数的单调性，即可得出正确答案.【详解】，.故选:B【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性，比较数的大小，属于基础题.8. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题中的假命题是（ ）A. 若，则B. 若
6、，则C. 若相交，则相交D. 若相交，则相交【答案】D【解析】【分析】根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的4个选项，即可求出答案由面面平行的判定方法，我们易得A正确；由面面垂直的性质及线线垂直的判定方法我们易得B正确；而由、相交，我们用反证法易得、也相交，分析即可得到结论详解】解：由、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且，若，我们可得且，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得，故A正确；若，则或，此时，故B正确；若、相交，则表示，不平行，则，也不平行，则、相交，故C正确；若、相交，则、既可以是相交直线，也可以是异面直线故D错误故选：D【点睛】本题考查判断空间直线与平面关系时
7、，熟练掌握空间线面的判定及性质定理是解决问题的关键9. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，设点的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】抛物线焦点，准线方程为，设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.故选:C【点睛】本题考查抛物线定义在解题中的应用，属于基础题.10. 已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，利用诱导公式和二倍角的余弦函数公式，即可计算得到答案【详解】因为，故选B【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式的合理运用
8、是解答的关键，着重考查了计算能力和转化思想，属于基础题11. 若存在，满足，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,故选D.点睛：本题的难点有一个，就是对的化简变形，由于已知里只有的范围，所以要消掉y,，后面想到换元求导，就是比较自然了.12. 已知点是椭圆上的动点，过作圆的两条切线分别为切于点，直线与轴分别相交于两点，则（为坐标原点）的最小面积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，由圆切线方程可得的方程而交于，由此能求出的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值【详解】根据题意，设是圆的切线且切点为，则的方程为同理的方
9、程为又由交于点，则有则直线的方程为则的坐标为的坐标为 又由点是椭圆 的动点，则有则有，即即面积的最小值为.故选【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆相切，关键是由圆的切线方程分析得到直线AB的方程第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在的展开式中，常数项的值为_【答案】84【解析】【分析】由的展开式的通项公式，再由求解即可.【详解】解：由的展开式的通项公式，令，即，即展开式的常数项为，故答案为84.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.14. 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是_【答案】【解
10、析】【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题15. 函数（是正实数）只有一个零点，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】先由二次函数零点个数，得到，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为二次函数（是正实数）只有一个零点，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基
11、本不等式，以及二次函数的零点个数问题即可，属于常考题型.16. 在数列an中，已知，则数列an的通项公式an=_ .【答案】【解析】【分析】将两边同时减去，得，构造新的等比数列，然后将的各项叠加即可.【详解】解：将两边同时减去得，即是等比数列，其首项为2，公比为2，所以，从而当n2时，.又，故故答案为：.【点睛】考查已知递推数列求数列通项，这种题一般是通过构造新的等比数列或等差数列，再借助于累加或累乘解决，基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 如
12、图，在梯形中，（1）求的长；（2）求梯形的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式计算出的余弦值，再由余弦定理求出线段的长；（2）根据图中角之同的关系求出，再由正弦定理求的长，最后根据梯形的面积为与的面积和求解【详解】解：（1）因为，所以，即因为，所以，所以在中，由余弦定理得，即，解得（2）由（1）可得，所以，所以因为且为锐角，所以，所以由，得所以在中，由正弦定理得，所以，所以梯形的面积【点睛】本题考查两角和的正弦公式，倍角公式，三角函数的诱导公式，正、余弦定理等知识，考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力18. 某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研
13、，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得分，答错或不答得分；第二空答对得分，答错或不答得分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从该校份试卷中随机抽取份试卷，其中该题的得分组成容量为的样本，统计结果如下表：第一空得分情况第二空得分情况得分03得分02人数198802人数698302（1）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计该校高三学生该题的平均分；（2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题得分的数学期望.【答案】（1）样本试卷中该题的平均分为，估计该校
14、高三学生该题的平均分为分.（2）该同学这道题得分的数学期望为分.【解析】【分析】(1)样本总得分样本容量=样本平均分.(2)的可能取值为,由独立事件的概率公式求出各取值的概率，然后可得数学期望.【详解】（1）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得:，据此可估计该校高三学生该题的平均分为分.（2）依题意，第一空答对的概率为，第二空答对的概率为，的可能取值为.；.该同学这道题得分的分布列如下： 所以该同学这道题得分的数学期望为.【点睛】本题考查统计和概率的综合问题.统计问题考查统计表格的读取和平均数的计算，概率问题考查独立事件的概率和随机变量的数学期望.解题的关键是正确地从表格中读取数据.1
15、9. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点1证明：；2若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】要证明，我们可能证明面PAD，由已知易得，我们只要能证明即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明，由已知易我们不难得到结论；由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由的结论，我们进而可以证明平面平面ABCD，则过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角的余弦值【详解】1证明：由四边形ABCD为菱形，可得为正三角形因为E为BC的中
16、点，所以又，因此因为平面ABCD，平面ABCD，所以而平面PAD，平面PAD且，所以平面又平面PAD，所以2设，H为PD上任意一点，连接AH，EH由1知平面PAD，则为EH与平面PAD所成的角在中，所以当AH最短时，最大，即当时，最大此时，因此又，所以，所以因为平面ABCD，平面PAC，所以平面平面ABCD过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，在中，又F是PC的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为【点睛】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出为二面角的平面角，通过解所在的三角形求得其解题过程为：作证是二面角的平面角计算，
17、简记为“作、证、算”20. 已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：直线于的交点在一条定直线上.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义，可求出周长的表达式，当点是椭圆的上（或下）顶点时，面积有最大值为，列出等式，结合，求出椭圆方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线与的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论【详解】解：（1）由题意得 椭圆的方程为；（2）由（1）得，设直线的方程为，由，得，直线的方
18、程为，直线的方程为，直线与的交点在直线上.【点睛】本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、定直线问题21. 已知函数的导函数为，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数区间上存在非负的极值，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）令可求得，求导后再令即可求得，即可得解；（2）对函数求导后，根据、分类讨论，求出函数的极值，进而可得，令，求导后，得出的最大值，即可得解.【详解】（1）令，代入可得，.（2）由题意，当即时，在上恒成立，在区间上单调递增，无极值，不合题意；当即时，令，则，当，函数单调递减；，函数单调递增；在存在唯一极值，又函数区间上存在非负的极值，存在，存在即，令，当时
19、，单调递增；当时，单调递减；，当即时，取最大值，的最大值为.【点睛】本题考查了导数的综合应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，解题的关键是条件的转化及新函数的构造，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为(1)写出的参数方程和的直角坐标方程；(2)若直线与曲线交于两点，且，求的值【答案】（1）为参数），；（2）或【解析】【分析】（1）由直线过定点，且倾斜角为（）可写
20、出直线的参数方程利用可求出曲线的参数方程（2）把直线的参数方程代入（1）中所求的抛物线方程，利用t的几何意义，可求解【详解】（1）直线过定点，且倾斜角（）直线的参数方程为为参数）；曲线的极坐标方程为，化即为曲线的直角坐标方程；（2）把直线方程代入抛物线方程得：，设对应的参数分别为，此时，满足或.选修4-5：不等式选讲23. 设函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）去绝对值，分、三种情况解不等式，由此可得出该不等式的解集；（2）由题意可得出，进而得出，然后将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】（1）因为，当时，由可得出，解得，此时；当时，由可得出，解得，此时；当时，由可得出，解得，此时.所以不等式解集为；（2）根据（1）可知，函数的最大值为，即，所以.，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.【点睛】本题考查利用绝对值不等式的求解，同时也考查了基本不等式求和的最小值，考查分类讨论思想的应用与计算能力，属于中等题.
