1、2015-2016学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（共14题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上）1已知集合A=x|=0，则集合A的子集的个数为2命题“若=，则tan =1”的逆否命题是3已知i为虚数单位，|=2，则正实数a=4函数的定义域是；值域是5由正方形的对角线相等；矩形的对角线相等；正方形是矩形写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为（写序号）6函数的增区间是7若函数f（x）=（m1）x是幂函数，则函数g（x）=loga（xm）（其中a0，a1）的图象过定点A的坐标为8已知命题p：|x1|2和命题q：1xm+1
2、，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围9若x（e1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=elnx，则a，b，c的大小关系为10若f（x）为R上的奇函数，且在（，0）内是增函数，又f（2）=0，则xf（x）0的解集为11已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x0，都有f（x+2）=f（x），且当x0，2）时，f（x）=log8（x+1），则f（2013）+f已知函数f（x）=loga（2xa）在区间上恒有f（x）0，则实数a的取值范围是13已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是14设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得
3、对于任意xM（MD），有x+tD，且f（x+t）f（x），则称f（x）为M上的t高调函数如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15设复数z=a+bi（a，bR，a0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上（1）求复数z；（2）若为纯虚数（其中mR，），求实数m的值16设命题p：关于x的函数y=（a1）x为增函数；命题q：不等式x2+2x2a对一切实数均成立若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实
4、数a的取值范围17若x0，y0，且x+y2，（1），时，分别比较和与2的大小关系；（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明18在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业其用氧量包含以下三个方面：下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升（1）将y表示为x的函数；（1）若x4，8，求总用氧量y的取值范围19已知函数f（x）=（a1）xa（aR），g（x）=|lgx|（）若f（x）是幂函数，求a的值并求
5、其单调递减区间；（）关于x的方程g（x1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1x2），求a+的取值范围20设函数f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若a1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a2x2mf（x）在区间1，+）上的最小值为2，求实数m的值2015-2016学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上）1已知集合A=x|=0，则集合A的子集的个数为2个【考点】子集与真子集
6、；集合的表示法【分析】求出集合A中的元素，从而求出集合A的子集的个数即可【解答】解：由=0，得：，解得：x=2，故A=2，故A的子集为，2，共2个，故答案为：2个2命题“若=，则tan =1”的逆否命题是若tan1，则【考点】四种命题【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，可写出答案【解答】解：命题“若=，则tan =1”的逆否命题是“若tan1，则”故答案为：若tan1，则3已知i为虚数单位，|=2，则正实数a=【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：=1ai，|=2，=2，化为a2=3，a0，解得a=故答案为：4函数的定义
7、域是0，+）；值域是0，1）【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域【分析】根据指数函数y=的性质，只要解不等式10，即可求得定义域；欲求值域，还是要依据指数函数y=的性质求解即可【解答】解：10，x0，故定义域是0，+）又0，11，值域是0，1）故答案为：0，+），0，1）5由正方形的对角线相等；矩形的对角线相等；正方形是矩形写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为（写序号）【考点】演绎推理的意义【分析】由题意，根据三段论的形式“大前提，小前提，结论”直接写出答案即可【解答】解：用三段论的形式写出的演绎推理是：大前提 矩形的对角线相
8、等，小前提 正方形是矩形，结论 正方形的对角线相等，故答案为：6函数的增区间是（，1）【考点】函数的单调性及单调区间【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的同增异减性确定增区间【解答】解：的定义域为：（，1）（2，+）令z=x23x+2 则原函数可以写为：y=是单调递减函数故原函数的增区间为：（，1）故答案为：（，1）7若函数f（x）=（m1）x是幂函数，则函数g（x）=loga（xm）（其中a0，a1）的图象过定点A的坐标为（3，0）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合对数函数的性质求出A的坐标即可【解答】解：若函数f（x）=（m1）x是幂函数
9、，则m=2，则函数g（x）=loga（xm）=（其中a0，a1），令x2=1，解得；x=3，g（x）=0，其图象过定点A的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）8已知命题p：|x1|2和命题q：1xm+1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围（2，+）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】命题p：|x1|2，化为2x12，解出x的范围根据p是q的充分不必要条件，即可得出【解答】解：命题p：|x1|2，化为2x12，解得1x3命题q：1xm+1，由p是q的充分不必要条件，3m+1，解得m2则实数m的取值范围（2，+）故答案为：（2，+）9若x（e1，1），a=lnx，b=（）
10、lnx，c=elnx，则a，b，c的大小关系为bca【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据指数幂和对数的性质进行判断即可【解答】解：x（e1，1），lnx（1，0），则函数f（t）=tlnx，为减函数，f（）f（e）0，即bca，故答案为：bca；10若f（x）为R上的奇函数，且在（，0）内是增函数，又f（2）=0，则xf（x）0的解集为（2，0）（0，2）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数的奇偶性求出f（2）=0，xf（x）0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解【解答】解：f（x）为奇函数，且满足f（2）=0，且在（，0）上是增函数，f（2）=f（2）=0，f（x）在（0，+）
11、内是增函数xf（x）0，或根据在（，0）内是增函数，在（0，+）内是增函数解得：x（2，0）（0，2）故答案为：（2，0）（0，2）11已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x0，都有f（x+2）=f（x），且当x0，2）时，f（x）=log8（x+1），则f（2013）+f当x0时，f（x）为周期为4的函数，且f（x）为偶函数，从而可得出f（2013）+f+f（2），而由f（x+2）=f（x）可以得出f（2）=f（0），这样带入x0，2）时的解析式便可求出f（1）+f（2）的值，从而得出答案【解答】解：f（x）=f（x+2）=f（x+4）=f（x+4）；x0时，f（x）是周期为4的函数；又f
12、（x）为偶函数；f（2013）+f+f+f（2+5034）=f（1）+f（2）=f（1）+f（2）=f（1）f（0）=log82log81=故答案为：12已知函数f（x）=loga（2xa）在区间上恒有f（x）0，则实数a的取值范围是【考点】对数函数的单调性与特殊点；对数函数的值域与最值【分析】先利用对数函数的图象性质，即“底、真同，对数为正”的特点，将数f（x）=loga（2xa）在区间上恒有f（x）0问题转化为在区间上恒成立或在区间上恒成立，通过解决一次不等式恒成立问题即可得解【解答】解：由对数函数的图象性质，f（x）=loga（2xa）0或由在区间上恒成立，得即a由在区间上恒成立，得即a
13、故答案为13已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（0，1）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】作f（x）的图象，从而由f2（x）af（x）=f（x）（f（x）a）=0可得f（x）=a有三个不同的解，从而结合图象解得【解答】解：作f（x）的图象如下，f2（x）af（x）=f（x）（f（x）a）=0，f（x）=0或f（x）=a；f（x）=0有两个不同的解，故f（x）=a有三个不同的解，故a（0，1）；故答案为：（0，1）14设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意xM（MD），有x+tD，且f（x+t）f（x），则称f
14、（x）为M上的t高调函数如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是1a1【考点】函数单调性的性质【分析】根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）f（x），结合图象分析可得44a2；解可得答案【解答】解：根据题意，当x0时，f（x）=|xa2|a2，则当xa2时，f（x）=x2a2，0xa2时，f（x）=x，由奇函数对称性，有则当xa2时，f（x）=x+2a2，a2
15、x0时，f（x）=x，图象如图：易得其图象与x轴交点为M（2a2，0），N（2a2，0）因此f（x）在a2，a2是减函数，其余区间是增函数f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）f（x），故当2a2x0时，f（x）0，为保证f（x+4）f（x），必有f（x+4）0；即x+42a2；有2a2x0且x+42a2可得44a2；解可得：1a1；故答案为1a1二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15设复数z=a+bi（a，bR，a0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上（1）求复数z；（2）若为纯虚数（其中mR，），求实数
16、m的值【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（1）由得：a2+b2=10，又复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上得a=3b，由联立方程组解得a，b的值，则复数z可求（2）由利用复数代数形式的乘除运算化简，再由纯虚数的条件得到实部等于零，虚部不等于零即可求出实数m的值【解答】解：（1）设z=a+bi（a，bR，a0），由得：a2+b2=10又复数（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=（a2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a2b=2a+b即a=3b由联立方程组，解得或a0，a=3，b=1z=3i；（2）
17、由，可得=，为纯虚数，解得m=516设命题p：关于x的函数y=（a1）x为增函数；命题q：不等式x2+2x2a对一切实数均成立若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】利用一次函数与二次函数的单调性分别化简命题p，q，由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假即可得出【解答】解：当命题p为真命题时，a1当命题q为真命题时，由x2+2x2=（x1）211，a1由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假当p真q假时，则，无解；当p假q真时，则，得1a1，实数a的取值范围是1，117若x0，y0，且x+y2
18、，（1），时，分别比较和与2的大小关系；（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明【考点】反证法的应用；归纳推理【分析】（1）分别代入，计算，即可得出结论；（2）利用反证法，证明即可【解答】解：（1）当，时， =1+2=32， =12；当时， =82， =2；当时， =2， =2（2）命题：若x0，y0且x+y2，则，至少有一个小于2证明：假设2，2，x0，y0，1+y2x，1+x2y2+x+y2x+2y，x+y2这与已知x+y2矛盾 假设不成立和中至少有一个小于218在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业其用氧量包含以下三个方面：下潜时，平
19、均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升（1）将y表示为x的函数；（1）若x4，8，求总用氧量y的取值范围【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x4，8可知在4，6上单调递减、在6，8上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，整理得：（x0）；（2）由基本不等式可知
20、，当且仅当即x=6时取等号，因为x4，8，所以在4，6上单调递减、在6，8上单调递增，所以当x=6时，y取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：19已知函数f（x）=（a1）xa（aR），g（x）=|lgx|（）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（）关于x的方程g（x1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1x2），求a+的取值范围【考点】幂函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】（）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（）把方程化为g（x1）=1a，利用函数y=g（x1）与y=1a在x（1，
21、3）的图象上有二交点，得出a的取值范围以及x1，x2的关系，从而求出a+的取值范围【解答】解：（）f（x）=（a1）xa（aR），f（x）是幂函数，由题有a1=1，得a=2；2f（x）=x2的单调递减区间为（，0）4（）方程g（x1）+f（1）=0化为g（x1）=1a，由题意函数y=g（x1）与y=1a在x（1，3）上有两不同交点5y=g（x1）=|lg（x1）|=；7在x（1，2时，y=g（x1）单调递减，又y=g（x1）0，+），在x2，3）时，y=g（x1）单调递增，y=g（x1）0，lg2），9所以01alg2，即1lg2a1，11由x1x2，可知x1（1，2），x2（2，3），且即相
22、加消去a，可得lg（x11）+lg（x21）=0，即（x11）（x21）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=114所以a+的取值范围为（2lg2，2）1620设函数f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若a1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a2x2mf（x）在区间1，+）上的最小值为2，求实数m的值【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；（2）当a1时，f（x）在R上递增运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个
23、步骤；（3）根据f（1）=，求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m【解答】解：（1）f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数f（0）=0，即k1=0，解得k=1（2）f（x）=axax（a0且a1），当a1时，f（x）在R上递增理由如下：设mn，则f（m）f（n）=amam（anan）=（aman）+（anam）=（aman）（1+），由于mn，则0aman，即aman0，f（m）f（n）0，即f（m）f（n），则当a1时，f（x）在R上递增（3）f（1）=，a=，即3a28a3=0，解得a=3或a=（舍去）g（x）=32x+32x2m（3x3x）=（3x3x）22m（3x3x）+2，令t=3x3x，x1，tf（1）=，（3x3x）22m（3x3x）+2=（tm）2+2m2，当m时，2m2=2，解得m=2，不成立舍去当m时，（）22m+2=2，解得m=，满足条件，m=2016年8月2日
