1、江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题.（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.已知为虚数单位，复数，则复数的模为（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算求得，即可求得其模【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查复数的乘除运算及复数求模，属于基础题2.一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为12，则（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可解得；【详解】解：因为，所以又汽车在时的瞬时速度
2、为12，即即，解得故选：D【点睛】本题考查导数在物理中的应用，属于基础题.3.已知复数满足：，则的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】复数方程转化成实数方程，再由复数模定义表示与圆上任一点间距离【详解】解：设，由得圆的方程，又表示定点与圆上任一点间距离则由几何意义得，故选：B【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题4.3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】每只老鼠都有3中不同的被捉方式，按照分步计数原理可得结果.【详解】3只猫把4只老鼠捉光，每只老鼠都有3中不同的被捉方式，则不同的捉法有种，故
3、选：B.【点睛】本题主要考查分步计数原理的运用，属于基础题.5.函数在点(0，)处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，利用导函数求出在点(0，)处的切线的斜率，写出切线点斜式方程，最后化为一般方程选出答案即可.【详解】,所以在点(0，)处的切线的斜率为，所以切线方程为：.故选：B【点睛】本题考查了求曲线上一点的切线问题，考查了导数的几何意义，考查了导数的运算，考查了数学运算能力.6.若函数在和处取得极值，则常数的值为（ ）A. 21B. 21C. 27D. 27【答案】A【解析】【分析】求出，由的两根是和4可求得得【详解】，由题意的两根是和4，解
4、得，故选：A【点睛】本题考查导数和极值的关系，对多项式函数来讲，函数的极值点是方程的解7.100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可知件产品中有件次品，件正品，设“前两次抽到正品”为事件，“第三次抽到次品”为事件，求出和，即可求得答案.【详解】由已知可知件产品中有件次品，件正品，设“前两次抽到正品”为事件，“第三次抽到次品”为事件；则 故选：A.【点睛】本题是一道关于条件概率计算的题目，关键是掌握条件概率的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8.设随机变量满足，
5、则函数无零点的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为函数无零点，所以,利用二项分布概率公式即可算出答案.【详解】函数无零点.满足.故选:A.【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率求法以及二项分布，属于基础题.熟记二项分布概率公式是解本题的关键.9.从不同品牌4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有（ ）A. 140种B. 84种C. 35种D. 70种【答案】D【解析】【分析】将满足题意的选法分为两种情况进行讨论，计算出每种情况的取法数，再利用分类加法计数原理即可得解.【详解】从中任意选取3部，其中手机和电脑都有，有两种选法：手机
6、2部，电脑1台；手机1部，电脑2台.手机2部，电脑1台，取法有种；手机1部，电脑2台，取法有种，根据分类计数原理知，共有种.故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，其中涉及到分类加法计数原理，属于基础题.10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f （x）的图象可能是（）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查
7、数形结合的思想方法，属于基础题.11.设，则（ ）A. 32B. 0C. 16D. 16【答案】C【解析】【分析】分别令，可得两个式子，把这两个式子相减除以2，即可得解.【详解】，令，得，令，得，两式相减，得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查二项展开式的部分项的系数和，考查运算求解能力，属于中档题.赋值法是求二项展开式系数问题的常用方法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定所赋的值.一般地，二项展开式的各项系数和为，奇次项系数和为，偶次项系数和为.12.对于定义在上的可导函数，当时，恒成立，已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数
8、，利用导数研究函数的单调性，并根据，即可得出结论.【详解】设，则，所以在单调递增，因，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查函数值的大小比较及利用导数研究函数的单调性，构造函数是本题的解题关键，属于中档题.二、填空题（请把答案填写在答题卡相应位置上）13.的展开式中常数项是_.【答案】【解析】【分析】先得到的展开式的通项公式，然后令x的次数为零求解.【详解】的展开式通项为：，令，解得，所以展开式中常数项是.故答案为：【点睛】本题主要考查二项展开式的通项，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.若随机变量，且，则_.【答案】0.2【解析】【分析】依题意可得，再根据正态曲线的性质计算可得；【详
9、解】解：因为随机变量，且所以故所以故答案为：【点睛】本题考查正态曲线的性质的应用，属于基础题.15.有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有_种不同的借法.【答案】150【解析】【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有种分法，分成2、2、1时，有种分法，所以共有种分法，故答案为：【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用16.函数，若函数恰有两个零点，则实数的取
10、值范围是_【答案】【解析】【分析】首先将题意转化为函数与恰有两个交点，当和时，利用函数的图象易得交点个数.当，利用表示直线的斜率，结合图象即可求出的范围.【详解】由题知：函数恰有两个零点.等价于函数与恰有两个交点.当时，函数与恰有一个交点，舍去.当时，函数与恰有两个交点.当时，如图设与的切点为，则切线方程为，原点代入，解得，.因为函数与恰有两个交点，由图知.综上所述：或.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的零点问题，分类讨论和数形结合为解决本题的关键，属于中档题.三、解答题（请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数，其中为虚数单位.（1）若复数是纯虚
11、数，求实数的值；（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由实部等于0且虚部不为0联立不等式组求解；（2）由实部大于0且虚部大于0联立不等式组得答案【详解】解：（1）复数是纯虚数，解得，故，（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，解得或，实数的取值范围为.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，训练了不等式组的解法，属于基础题18.已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极大值，无极小值（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）对
12、函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；（2）对函数进行求导，根据实数的正负性，分类讨论判断导函数的正负性，进行判断单调性即可；（3）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.【详解】解：（1）.令，得.正0负单调增大极大值单调减少所以在上单调递增，上单调递减，所以函数的极大值为：，无极小值；（2），当时，在单调递增，当时，若，在单调递增；若，在单调递减；综上，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（3）对，恒成立，对，恒成立，令，.当时，单调递增；当时，单调递减，所以，因
13、此.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.19.在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北.某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队.（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记为选出的4名选手中男性的人数，求的概率分布和数学期望.【答案】（1）3（2）详见解析【解析】【分析】（1）选出的4名志愿全是女性，则从2名女医生选2人有种选法，从3名女护士选2人有选法，根据乘法原理可得答案.（2）由题意有的取值可能为
14、0,1,2,3，再分别计算出取各个值的概率，列出分布列，求出期望即可.【详解】解：（1）从2名女医生选2人有种选法，从3名女护士选2人有选法则选出的4名志愿全是女性有种不同的选法.所以选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种，（2）的取值可能为0,1,2,3，列表如下：0123.【点睛】本题考查组合问题和求概率分布列以及数学期望，求概率分布列先要弄清楚随机变量的取值情况，准确求出其对应的概率时关键，属于中档题.20.物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求.某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：每周网上买菜次数1次2次3次4次5次6次及以上总计男1087
15、321545女546463055总计1512137845100（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女“网上买菜达人”的概率.附公式及表如下：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否
16、为“网上买菜热爱者”与性别有关（2）【解析】【分析】（1）根据题意列出列联表，由公式计算,再由给出的对照表进行比较，得出结论.（2）由题意可得随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女移动支付达人“的概率为，然后求出抽取的4名用户中,全为男“移动支付达人”的概率和抽取的4名用户中,全为女“移动支付达人”的概率，再由对立事件的概率可求出答案.【详解】（1）由表格数据可得列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户合计男252045女154055合计4060100将列联表中的数据代入公式计算得：，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关.（
17、2）每周使用移动支付6次及6次以上的用户有45户.其中男性15户，女性30户.视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女移动支付达人“的概率为.抽取的4名用户中,全为男“移动支付达人”的概率为：抽取的4名用户中,全为女“移动支付达人”的概率为：抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为.【点睛】本题考查独立性检验和用频率为概率计算概率，属于中档题.21.已知数列的首项为1，记.（1）若数列是公比为3的等比数列，求的值；（2）若数列是公差为2的等差数列，求证：是关于的一次多项式.【答案】（1）1（2）证明见解析；
18、【解析】【分析】（1）根据，得到求解.（2）易得，则，再转化为，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：，；（2）证明：若数列是公差为2的等差数列，则.，由二项式定理知，因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数，其中.（1）当时，求不等式在上的解；（2）设，关于直线对称的函数为，求证：当时，；（3）若函数恰好在和两处取得极值，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）当时，对求导，判断导函数在上的正负号,说明函数在上的单调性，再
19、利用，即可解出不等式.（2）根据题意求出,令,求出说明其大于0.则在上单调递增，再结合，即可得证.（3）根据题意可知，是函数的两个不同实根.不妨设,分别根据函数零点存在性定理可得,可得，则，要证即证.化简得,令再根据函数，求导说明函数在上是减函数,结合，即可得证.【详解】（1）当时，在上单调递增，在上单调递增，又，的解集为；（2），关于直线对称的函数为，令，当且仅当时取“”，故上式取不到“”，即，在上单调递增，故，即，当时，（3）证明：由已知，由，是函数两个不同极值点（不妨设）.即，是函数的两个不同实根.即，两式相减得：，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，即证令即证不等式当时恒成立.设，而，即，在上是减函数,又恒成立.则.【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立.属于难题.常见的恒成立问题：1)恒成立;2)恒成立;3)恒成立.
