1、第八节 正、余弦定理的应用基础梳理解三角形(1)解三角形:_.一般地,把三角形三个角A,B,C和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫做解三角形 (2)解三角形的类型:已知三边求三角,用_定理;已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,用_定理;已知两角和任一边,求其他两边和一角,用_定理;已知两边和一边的对角,求第三边和其他两角,用_定理 余弦 余弦 正弦 正弦 基础达标 1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60,C点的俯角为70,则BAC=_.解析:如图,由已知BAD=60,CAD=70,BAC=60+70=130.2.若P在
2、Q的北偏东44,则Q在P的_方向 解析:如图,依题意知AQP=44,则点Q在点P的南偏西44.3.(必修5P18例1改编)为了在一条河上建一座桥,施工前在 河两岸打上两个桥位桩A,B(如图)要测算出A、B两点间的 距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=100 m,B=60,C=45,则AB=_m.解析:B=60,C=45,A=75.ABsinC,BCsinAAB=21002100(31).624BCsinCsinA4.(必修5P21第8题改编)如图,A、B两 地之间隔着一个水塘,现选择另一点 C,测得CA=80 m,CB=40 mACB=60,则A、B两地之间距离为_ m.解析:由余弦定
3、理,得AB2=CA2+CB2-2CACBcosC =802+402-2 218040403,2AB=40 3.5.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC边上的中线AD的长为_ 解析:如图所示,B=60,AB=1,BD=2,由余弦定理得 AD=2222260122 1 2603.ABBDAB BDcoscos 经典例题题型一 距离问题【例1】一货轮在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C 在货轮的东北方向,半小时后在B处望见灯塔C在货轮的 北偏东30方向若货轮的速度为30 n mile/h,当货轮 航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向处,求A、D两处 的距离 分析:
4、如图所示,由条件可知ACD是等腰直角三角形,故只要求出AC即可,而ABC中,AB可知,CAB,CBA都可知利用正弦定理可求出AC.解:如图所示,在ABC中,CAB=45,ABC=90+30=120,ACB=180-45-120=15,AB=30 0.5=15(n mile)则由正弦定理,得 ,ACABsin ABCsin ACB即 15.12015ACsinsin又sin 15=62,4sin 120=3,2AC=151203 26152sinsin15(n mile)在ACD中,A=D=45,ACD是等腰直角三角形,AD=2 AC=15(3+3)(n mile),A、D两处的距离为15(3+
5、3)n mile.题型二 高度问题【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前 进40 m后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大 仰角为30,求塔高 分析:依题意画出示意图形如图所示,在BDC中,可用 正弦定理求BD的长,要使仰角AEB最大,即使tanAEB 最大由于AB是塔高,是定值,故只要BE最小就可以了,故当BEDC时为最小,即BE长可求出然后在RtABE中 求出塔高AB的长 解:如图所示,在BDC中,CD=40 m,BCD=90-60=30,DBC=180-45=135.由正弦定理,得 CDBDsin DBCsin BCD,BD=403020 2135CDsin BCDsinsin
6、DBCsin(m).在RtABE中,tanAEB=.ABBEAB为定值,若要使仰角AEB最大,则BE要最小,即BECD,这时AEB=30.在RtBED中,BDE=180-135-30=15,BE=BDsinBDE=20 2sin 15 10(3 1)()m在RtABE中,AB=BEtanAEB 1010(31)tan30(33)().3m塔的高度为 10(33).3m题型三 角度问题【例3】近几年来,印度洋海域索马里海盗活动猖獗,并频频袭击过往货轮,2011年某月某日,巡逻人员在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A处 (3 1)海里的B 处一货轮遭到抢劫,立即发出阻截信号,此时,在A处北偏西7
7、5方向,距离A处2海里的C处的中国编队接到信号后,立即以10 海里/小时的速度追截海盗船,而海盗船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问:中国编队沿什么方向行驶能最快追上海盗船?3分析:画出示意图如图所示,设 中国编队应按CD方向行驶,且在D 处追上海盗船在ABC中,可由 余弦定理求出BC;然后,再在 BCD中,由正弦定理求出 BCD,则追截方向可定 解:如图,设中国编队用t h在D处追上海盗船,则有CD=10 3,tBD=10t,在ABC中,AB=3 1,AC=2,BAC=120,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC 22(3 1)22(3 1)2 c
8、os1206,BC=6,cosCBA=222263142,222 631BCABACBC AB CBA=45,即B在C的正东方向 CBD=90+30=120,在BCD中,由正弦定理得 sinBCD=101201,210 3BD sin CBDtsinCDtBCD=30,ECD=60.故中国编队应沿北偏东60方向才能最快追上海盗船 变式3-1 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处,两船相距10海里,乙船向正北方向行驶,若甲船速度是乙船的 3倍,问:甲船应向什么方向行驶才能追上乙船?解析:如图,设乙船行驶了x海里,则甲船行驶了 3x海里,两船在C处相遇 在ABC中,ABC=120,AB=10,BC=x,AC=3x由余弦定理可知=100+x2-20 xcos 120,2(3)x即x2-5x-50=0,x=10或x=-5(舍去),ABC是顶角为120 的等腰三角形,BAC=30.故甲船应向北偏东30方向前进才能追上乙船