1、春晖学校高一数学月考试题（三）2021.3.10一、单选题1在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A，B，C，D，2已知，则（ ）A三点共线B三点共线C三点共线D三点共线3如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（ ）A经过3分钟，点P首次到达最低点B第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高C从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低D摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米4已知，则的值是（ ）ABCD5对于任意两个向量和，下列命题正确的是
2、（ ）A若，满足，且与同向，则BCD6我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）ABCD7已知向量，为向量在向量上的投影向量，则（ ）ABCD8设为内的两点,且, ,则的面积与的面积之比为（ ）ABCD二、多选题9是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）A若，则B，则 C若 ，则存在唯一的实数，使D一定存在实数，使10对于函数，下列结论正确的是（ ）A最小正周期为B函数图象的对称中心为C单调递增区间为D的图象可由函数的图象向左平移个单位得到1
3、1已知向量是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）A若存在实数，使得，则与共线B若与共线，则存在实数，使得C若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，使得D若对平面内的任一向量，均存在实数，使得，则与不共线12下图是函数y= sin(x+)的部分图像，则sin(x+)= （ ）ABCD三、填空题13已知向量， 与垂直，则_14已知，则_.15已知，与的夹角为45，若向量与的夹角为锐角时，则的取值范围为_16将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意成立，则实数的最小值为_此时，函数在区间上的图象与直线所围成的封闭图形的面积为_.四、解答题17已知向量与的夹角，且，（1
4、）求，；（2）求与的夹角的余弦值18已知向量，设函数（1）求的最小正周期及对称轴；（2）当时，求函数的值域19如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，求.20（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，与的夹角为，且（+）（），求的值.21设为的重心，过作直线分别交线段(不与端点重合)于若（1）求的值；（2）求的取值范围22如图，在中，. （）求的值；（）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值.参考答案1D【分析】本题可根据向量平行的相关性质依次判断四个选项中的、是否共线，即可得出结果.【详解】选项A：因为，所以、共线，不能作为基底
5、；选项B：因为，所以、共线，不能作为基底；选项C：因为，所以、共线，不能作为基底；选项D：因为，所以、不共线，可以作为基底，故选：D.【点睛】本题考查平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为基底，考查向量平行的相关性质，考查计算能力，是简单题.2A【解析】试题分析：，所以A、B、D三点共线，答案选A.考点：平面向量的共线定理3C【分析】求得中关于时间的表达式，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】设，则（为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟）.对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以经过3分钟，点P首次到达最低点，A选项正确.对于B选项，当时，；当时.所以第4分钟
6、和第8分钟点P距离地面一样高，B选项正确.对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以第7分钟至第10分钟，相当于第1分钟至第4分钟，根据A选项可知，经过3分钟，点P首次到达最低点，所以第1分钟至第3分钟，摩天轮高度降低，第3分钟至第4分钟，摩天轮高度上升.所以C选项错误.对于D选项，由得，其中，所以，故或，即或，故摩天轮在旋转一周的过程中点P有分钟距离地面不低于65米. D选项正确.故选：C4C【分析】将角表示为，然后利用诱导公式可得出结果.【详解】故选：C.【点睛】在应用诱导公式求三角函数值时，除了要掌握应用诱导公式的原则：“负化正”、“大化小”、“小化锐”外，还需善于观察，
7、寻找角的关系，如，这样可以沟通已知角与待求值角之间的关系5B【分析】根据向量的定义判断A，向量减法的三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C.【详解】A.向量不能比较大小，所以A不正确；B.根据向量减法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与反向时，等号成立，不B正确；C.，故C不正确；D.当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确.故选：B6B【分析】利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.【详解】由题得即，解得，即，故选：B【点睛】方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运
8、算这些知识求解.7A【分析】首先计算，再根据投影公式计算投影向量的模.【详解】 由投影公式可知.故选：A【点睛】本题考查投影的计算，属于基础题型.8A【分析】作，根据平行四边形法则可知，从而得到，进而得到；同理可得，进而求得结果.【详解】作，交于；，交于四边形为平行四边形 又 ，即，即，同理可得：本题正确选项：【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，关键是能够利用向量加法的平行四边形法则建立等量关系，进而根据线段的比例关系得到面积比.9AC【分析】A. 根据是任意的非零向量，由平行关系的传递性判断. B. 将变形为，再根据是任意的非零向量判断.C. 由平面向量共线定理判断.D. 由共线向量定理
9、判断.【详解】A. 因为是任意的非零向量，且，由平行关系的传递性可得，故正确. B. ，因为是任意的非零向量，所以得到，故错误.C. 由平面向量共线定理知，若 ，则存在唯一的实数，使，故正确.D. 只有当时，由共线向量定理知，才存在实数，使，故错误.故选：AC【点睛】本题主要考查平面向量的概念，共线定理，数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10AB【分析】利用正弦函数的性质判断各选项【详解】，A正确；，对称中心是，B正确；，增区间是，C错；函数的图象向左平移个单位得到图象的解析式是，D错故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查正弦（型）函数的性质对函数，其性质可以利用正弦函数的性质求
10、解，把作为中的计算可得如对称点、对称中心，单调区间等11ACD【分析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项.【详解】根据平面向量共线的知识可知A选项正确.对于B选项，若与共线，可能，当为非零向量时，不存在实数，使得，所以B选项错误.根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.12BC【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.【点睛】已知f(x)Asin(x)(A0
11、，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.13【解析】向量，与垂直，故，即，故答案为.14【分析】利用二倍角公式将所求式子中的二倍角展开，分子分母同时除以可得关于的式子，代入求得结果.【详解】.故答案为：15【分析】两个向量夹角是锐角的等价条件是两个向量的数量积大于零，
12、且两个向量不能同向，从而求得的取值范围.【详解】与的夹角为锐角，即，且，所以，解得：或且故答案为：【点睛】本题考查数量积的运算、夹角运算，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况进行排除16 【分析】先将函数化简为，由平移得到的解析式，对任意成立，即函数的对称轴为，可求出的最小值，然后用割补的方法，可得图形的面积.【详解】由图象向左平移个单位长度.则得到.所以.由若对任意成立，则函数的对称轴为.得，所以，则的最小值为；此时，由对称性可知，如图.即右边阴影部分的面积等于左边的面积.所求面积即为直线以及围成矩形面积，即为.故答案为：. ， 【点睛】本题考
13、查三角函数图像的平移变换和对称性，属于中档题.17（1），；（2）.【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.18（1），；（2）.【分析】先把化为“一角一名一次”结构，根据正弦型函数的图像和性质分别求周期，对称轴和值域.【详解】（1）函数的最小正周期为对称轴为（2）由得当，函数的值域为【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论
14、务必写成区间形式，不能写成集合或不等式；(3)求三角函数的值域要用函数的单调性.19（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量基本定理，取为基底，利用向量加减法可解；（2）把所有的向量用基底表示后，计算.【详解】解：（1）因为，所以，所以，故.（2），为菱形.，即.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.20（1）或；（2）【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值【详解】（1）
15、设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得21(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）用表示，再表示，利用三点共线，可求得结果；（2）由（1）中结论得用表示，再利用二次函数的值域的求法，最终可得的值的范围.试题解析：()连结AG并延长交BC于M,则M是BC的中点，设，则， 又， ，三点共线，故存在实数，使，消得：，即 或者另一种解法由式得， 将代入得三点共线，故,即 () ， 即，其中时，有最大值，时，有最小值2，于是的取值范围是 考点：三点共线、二次函数.【思路点晴】本题考查学生对向量几何表示的认识由题意可知若要建立、的等式关系，需从三点共线的角度进行解决，这是本题的难点，基底的选取应该是由第一问的、的等式关系，可用表示，或者用表示，代入中转化成二次函数求最值的问题本题难度中等.22（） ；（）1.【分析】(I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算；(II）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值.【详解】（）.（）建立如图所示的平面直角坐标系，则，.设，由，得.所以.所以， ，因为，.所以，当，即时，的最大值为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题
