1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第8课时 空间向量的应用(二)空间的角 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1能够利用空间向量，解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题，体会向量法在立体几何中的应用2了解点面距离的求法第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角和面面角的计算，属于中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角定义：设
2、a，b 是两条异面直线，过空间任一点 O 作直线aa，bb，则 a与 b所夹的锐角或直角叫做 a 与 b 所成的角范围：两异面直线所成角 的取值范围是(0，2 向量求法：设直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，其夹角为，则有 cos|cos|ab|a|b|第7页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)直线与平面所成的角定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角范围：直线和平面所成的角 的取值范围是0，2 向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为，a 与 u 的夹角为，则有 sin|cos|或 cos sin第8页高考调研 高三总复习
3、 数学（理）(3)二面角二面角的取值范围是0，二面角的向量求法：()若 AB，CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图)第9页高考调研 高三总复习 数学（理）()设 n1，n2 分别是二面角 l 的两个面，的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)点面距的求法如图，设 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离 d|AB n|n|第10页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下面结论是否正确(打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所
4、成的角(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角(3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角(4)两异面直线夹角的范围是(0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二面角的范围是0，第11页高考调研 高三总复习 数学（理）(5)若直线 l 的方向向量与平面 的法向量夹角为 120，则l 和 所成角为 30.(6)若二面角 a 的两个半平面，的法向量 n1，n2 所成角为，则二面角 a 的大小是.答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)第12页高考调研 高三总复习 数学（理）2已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 的法向量，若 cosm，n12，则 l
5、与 所成的角为()A30 B60C120D150答案 A解析 cosm，n12，sinm，n 32.m，n120.l 与 所成的角为 1209030.第13页高考调研 高三总复习 数学（理）3已知两平面的法向量分别为 m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A45B135C45或 135D90答案 C解析 cosm，n mn|m|n|12 22，m，n 45.二面角为 45或 135.第14页高考调研 高三总复习 数学（理）4(2016郑州质检)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAA12，AD1，E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦
6、值为()A.1010B.3010C.2 1510D.3 1010第15页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 建立坐标系如图，则 A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)BC1(1，0，2)，AE(1，2，1)，cosBC1，AE BC1 AE|BC1|AE|3010.所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 3010.第16页高考调研 高三总复习 数学（理）5(2016沧州七校联考)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，APAB2，BC2 2，E，F 分别是 AD，PC 的中点(1)证明：PC平面 BE
7、F；(2)求平面 BEF 与平面 BAP 所成锐二面角的大小第17页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)略(2)45解析(1)证明：如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 APAB2，BCAD2 2，四边形 ABCD 是矩形，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2 2，0)，D(0，2 2，0)，P(0，0，2)第18页高考调研 高三总复习 数学（理）又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，E(0，2，0)，F(1，2，1)PC(2，2 2，2)，BF(1，2，1)，EF(1，0，1)PCBF2420，PCEF2020
8、.PCBF，PCEF.PCBF，PCEF.又 BFEFF，PC平面 BEF.第19页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)由(1)知 n1PC(2，2 2，2)是平面 BEF 的法向量，又取平面 BAP 的法向量 n2AD(0，2 2，0)，n1n28.设平面 BEF 与平面 BAP 所成锐二面角的平面角的大小为，则 cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|842 2 22.45.平面 BEF 与平面 BAP 所成锐二面角的大小为 45.第20页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第21页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 异面直线所成角例 1 在棱长为 2 的正方体 ABC
9、DA1B1C1D1 中，O 是底面ABCD 的中心，E，F 分别是 CC1，AD 的中点，则异面直线 OE和 FD1 所成的角的余弦值等于_第22页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，E(0，2，1)FD1(1，0，2)，OE(1，1，1)cosFD1，OE 125 3 155.【答案】155第23页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1 求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角
10、或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定第24页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1(2016保定模拟)如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1底面 ABC，ABBCAA1，ABC90，点 E，F 分别是棱 AB，BB1的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是()A45 B60C90D120第25页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】以 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB1为 z 轴，建立空间直角坐标系 设 ABBCAA12，C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)EF(0，1，1)，BC1(2，0，2)EFBC1 2，记EF，BC1 所成角为
11、.cos222 212.EF 和 BC1 所成角为 60.【答案】B第26页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 线面角例 2 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD2，AB1，BMPD 于点 M.(1)求证：AMPD；(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值第27页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AD平面 PAD，PA平面 PAD，AB平面 PAD.PD平面 PAD，ABPD.BMPD，ABBMB，AB平面 ABM，BM平面ABM，PD平面 A
12、BM.AM平面 ABM，AMPD.第28页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)方法一：由(1)知，AMPD，又 PAAD，则 M 是 PD 的中点 在 RtPAD 中，得 AM 2.在 RtCDM 中，得 MC MD2DC2 3.MC2AM2AC25，即AMC 为直角三角形 SACM12AMMC 62.第29页高考调研 高三总复习 数学（理）设点 D 到平面 ACM 的距离为 h，由 VDACMVMACD，得13SACMh13SACD12PA，解得 h 63.设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为，则 sin hCD 63，cos 33.直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 33
13、.第30页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：如图所示，以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)AC(1，2，0)，AM(0，1，1)，CD(1，0，0)设平面 ACM 的一个法向量为 n(x，y，z)，第31页高考调研 高三总复习 数学（理）由 nAC，nAM，可得x2y0，yz0.令 z1，得 x2，y1.n(2，1，1)设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为，则 sin|CD n|CD|n|63.cos 33.直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 33
14、.【答案】(1)略(2)33第32页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2 求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误 第33页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2(2014北京理)如图所示，正方形 AMDE 的边长为 2，B，C 分别为 AM，MD 的中点在五棱锥 PABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面 ABF 与棱 PD，PC 分别交于点 G，H.(1)求证：ABFG；(2)若 PA底面 ABCDE，且 PAAE，求直线 BC
15、 与平面 ABF所成角的大小，并求线段 PH 的长第34页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)证明：在正方形 AMDE 中，因为 B 是 AM 的中点，所以 ABDE.又因为 AB平面 PDE，所以 AB平面 PDE.因为 AB平面 ABF，且平面 ABF平面 PDEFG，所以 ABFG.第35页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)因为 PA底面 ABCDE，所以 PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，BC(1，1，0)设平面 ABF 的一个法向量为 n(x，y，z)，则n
16、AB 0，nAF0，即x0，yz0.第36页高考调研 高三总复习 数学（理）令 z1，则 y1，所以 n(0，1，1)设直线 BC 与平面 ABF 所成角为，则 sin|cosn，BC|nBC|n|BC|12.因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为6.设点 H 的坐标为(u，v，w)因为点 H 在棱 PC 上，所以可设PHPC(01)，第37页高考调研 高三总复习 数学（理）即(u，v，w2)(2，1，2)，所以 u2，v，w22.因为 n 是平面 ABF 的一个法向量，所以 nAH 0，即(0，1，1)(2，22)0，解得 23.所以点 H 的坐标为43，23，23.所以 PH432
17、2324322.【答案】(1)略(2)6，2第38页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 二面角例 3(2015重庆理)如图，三棱锥 PABC中，PC平面 ABC，PC3，ACB2.D，E分别为线段 AB，BC 上的点，且 CDDE 2，CE2EB2.(1)证明：DE平面 PCD；(2)求二面角 APDC 的余弦值第39页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)由 PC平面 ABC，DE平面 ABC，故 PCDE.由 CE2，CDDE 2，得CDE 为等腰直角三角形故CDDE.由 PCCDC，CD平面 PCD，PC平面 PCD，故 DE平面 PCD.(2)由(1)知，CDE 为等腰直角
18、三角形，DCE4.如图，过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，易知 DFFCFE1，第40页高考调研 高三总复习 数学（理）又已知 EB1，故 FB2.由ACB2，得 DFAC，DFACFBBC23.故 AC32DF32.以 C 为坐标原点，分别以CA，CB，CP的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0)，P(0，0，3)，A(32，0，0)，E(0，2，0)，D(1，1，0)，ED(1，1，0)，DP(1，1，3)，DA(12，1，0)第41页高考调研 高三总复习 数学（理）设平面 PAD 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，由n1DP0，n1DA 0
19、，得x1y13z10，12x1y10，故可取 n1(2，1，1)由(1)可知 DE平面 PCD，故平面 PCD 的法向量 n2 可取为ED，即 n2(1，1，0)从而法向量 n1，n2 的夹角的余弦值为 cos n1n2|n1|n2|36.故所求二面角 APDC 的余弦值为 36.【答案】(1)略(2)36第42页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3(1)当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明快(2)用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的第43页高考
20、调研 高三总复习 数学（理）思考题 3(2016衡水调研卷)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，DAB90，PA平面 ABCD，且 PACDAD12AB，M 为 PB 的中点(1)证明：平面 PAD平面 PCD；(2)求二面角 AMCB 的余弦值第44页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)证明：以 A 为坐标原点，AD长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则 A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，12)因为AP(0，0，1)，DC(0，1，0)，所以APDC 0.所以 A
21、PDC.第45页高考调研 高三总复习 数学（理）由题设知 ADDC，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC平面 PAD.又 DC 在平面 PCD 上，故平面 PAD平面 PCD.(2)在 MC 上取一点 N(x，y，z)，则存在 R，使NC MC，NC(1x，1y，z)，MC(1，0，12)，所以 x1，y1，z12.第46页高考调研 高三总复习 数学（理）要使 ANMC，只需AN MC 0，即 x12z0，解得 45.可知当 45时，N 点坐标为(15，1，25)，能使AN MC 0.此时，AN(15，1，25)，BN(15，1，25)，有BN MC 0.由AN
22、MC 0，BN MC 0，得 ANMC，BNMC，所以ANB 为所求二面角的平面角 第47页高考调研 高三总复习 数学（理）因为|AN|305，|BN|305，AN BN 45，所以 cosAN，BN AN BN|AN|BN|23.所以二面角 AMCB 的余弦值为23.【答案】(1)略(2)23第48页高考调研 高三总复习 数学（理）题型四 空间距离例 4 已知正方形 ABCD 的边长为 4，CG平面 ABCD，CG2，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求点 B 到平面 GEF 的距离【解析】如图建立空间直角坐标系，则 B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)，
23、EF(2，2，0)，GE(2，4，2)，BE(2，0，0)第49页高考调研 高三总复习 数学（理）设平面 EFG 的一个法向量是 n(x，y，1)，则由 nEF，nGE，得（x，y，1）（2，2，0）0，（x，y，1）（2，4，2）0 xy0，x2y1 x13，y13.所以 n(13，13，1)则点 B 到平面 GEF 的距离为 dnBE|n|2 1111.第50页高考调研 高三总复习 数学（理）【讲评】空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离、点到线的距离和点到面的距离其中点到点的距离、点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的法向量求解【答案】2 1111第51页高
24、考调研 高三总复习 数学（理）探究 4(1)求点到平面距离是重点，其方法有：直接作出点到面的垂线段，再计算；平行转移法即通过线面平行，转化到其他点到平面的距离；体积法；利用向量(2)已知 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离为|BO|AB|cos AB，n|AB n|n|.第52页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 4 如图所示，BCD 与MCD都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB2 3.求点 A 到平面 MBC 的距离【解析】方法一：取 CD 中点 O，连接 OB，OM，则 OBOM 3，OBCD，MOCD.又平
25、面 MCD平面 BCD，则 MO平面 BCD，所以 MOAB，MO平面 ABC.M，O 到平面 ABC 的距离相等作 OHBC 于 H，连接 MH，则 MHBC.第53页高考调研 高三总复习 数学（理）求得 OHOCsin60 32，MH（3）2（32）2 152.设点 A 到平面 MBC 的距离为 d，由 VAMBCVMABC，得 13SMBCd13SABCOH.即13122 152 d131222 3 32，解得 d2 155.第54页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：取 CD 中点 O，连接 OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面 MCD平面 BCD，则 MO平面 BCD.取 O
26、 为原点，直线 OC，BO，OM 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，OBOM 3，则各点坐标分别为C(1，0，0)，M(0，0，3)，B(0，3，0)，A(0，3，2 3)设 n(x，y，z)是平面 MBC 的一个法向量，则 BC(1，3，0)，BM(0，3，3)第55页高考调研 高三总复习 数学（理）由 nBC，得 x 3y0.由 nBM，得 3y 3z0.取 n(3，1，1)，BA(0，0，2 3)，则 d|BA n|n|2 35 2 155.【答案】2 155第56页高考调研 高三总复习 数学（理）1角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化
27、为平面角或两向量的夹角 2用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便 第57页高考调研 高三总复习 数学（理）3找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找(作)垂面，将其转化为平面角，或用向量求解，或解直角三角形 4二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面积射影法、向量法等，特别是对“无”棱(图中没有棱)的二面角，应先找出棱或借助平面法向量夹角求解 5空间的距离主要掌握点面距离的求法第58页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第59页高考调研 高三
28、总复习 数学（理）1在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是 AB 的中点，则sinDB1，CM 的值等于()A.12 B.21015C.23D.1115第60页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 分别以 DA，DC，DD1 为 x，y，z 轴建系，令 AD1，DB1(1，1，1)，CM(1，12，0)cosDB1，CM 1123 52 1515.sinDB1，CM 21015.第61页高考调研 高三总复习 数学（理）2已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形，AA12AB，E 为 AA1 的中点，则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为()A
29、.1010B.15C.3 1010D.35第62页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 如图，以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 设 AA12AB2，则 B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)BE(0，1，1)，CD1(0，1，2)cosBE，CD1 122 53 1010.第63页高考调研 高三总复习 数学（理）3(2016山西临汾一模)如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是()A90B60C45D30第64页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 将其还原成正方
30、体 ABCDPQRS，显然 PBSC，ACS 为正三角形，ACS60.第65页高考调研 高三总复习 数学（理）4(2016山东师大附中)已知正三棱柱 ABCA1B1C1 所有棱长都相等，D 是 A1C1 的中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为()A.12B.32C.35D.45第66页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 取 AC 中点 E，令 AB2，分别以 EB，EC，ED 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 B1(3，0，2)，C(0，1，0)，A(0，1，0)，D(0，0，2)，DB1(3，0，0)，DC(0，1，2)，DA(0，1，2)，平面 B1DC 法
31、向量为 n(0，2，1)，cosDA，n45.AD 与面 B1DC 所成的角正弦值为45.第67页高考调研 高三总复习 数学（理）5(2015广东理)如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点 E 是 CD 边的中点，点F，G 分别在线段 AB，BC 上，且 AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角 PADC 的正切值；(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值第68页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)略(2)73 (3)9 525解析(1)证明：PDPC 且点 E 为 CD 的中点，PEDC，又平面 P
32、DC平面 ABCD.且平面 PDC平面ABCDCD，PE平面 PDC，PE平面 ABCD.又 FG平面ABCD，PEFG.第69页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)ABCD 是矩形，ADDC，又平面 PDC平面 ABCD，且平面 PDC平面 ABCDCD，AD平面 ABCD，AD平面 PCD.又 CD，PD平面 PDC，ADDC，ADPD.PDC 即为二面角 PADC 的平面角 在 RtPDE 中，PD4，DE12AB3，PE PD2DE27，tanPDCPEDE 73 即二面角 PADC 的正切值为 73.第70页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)如图所示，连接 AC，AF2FB，C
33、G2GB 即AFFBCGGB2，ACFG.PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角或其补角 在PAC 中，PA PD2AD25，AC AD2CD23 5，由 余 弦 定 理，可 得cos PAC PA2AC2PC22PAAC52（3 5）242253 59 525.直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为9 525.第71页高考调研 高三总复习 数学（理）课外阅读 第72页高考调研 高三总复习 数学（理）高考中的立体几何探索性问题利用向量解决立体几何中的探索性问题，在近几年的高考中倍受青睐如 2013 年各地高考卷中出现了 6 次，2014 年出现了3 个下面举两例说明其破解方法，以期抛砖
34、引玉 第73页高考调研 高三总复习 数学（理）例 1(2014江西理)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD.(1)求证：ABPD；(2)若BPC90，PB 2，PC2.问 AB 为何值时，四棱锥 PABCD 的体积最大？并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值第74页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)证明：因为四边形 ABCD 为矩形，故 ABAD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 AB平面 PAD，故 ABPD.(2)过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，过 O 作 BC 的垂线，垂足为 G，
35、连接 PG.故 PO平面 ABCD，BC平面 POG，BCPG.第75页高考调研 高三总复习 数学（理）在 RtBPC 中，PG2 33，GC2 63，BG 63.设 ABm，则 OP PG2OG243m2.故四棱锥 PABCD 的体积为 V13 6m43m2m3 86m2.因为 m 86m2 8m26m46m223283，故当 m 63，即 AB 63 时，四棱锥 PABCD 的体积最大 第76页高考调研 高三总复习 数学（理）此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标为 O(0，0，0)，B63，63，0，C63，2 63，0，D0，2 63，0，P0，0，63.故PC63，2 63，
36、63，BC(0，6，0)，CD 63，0，0.第77页高考调研 高三总复习 数学（理）设平面 BPC 的法向量 n1(x，y，1)，则由 n1PC，n1BC，得 63 x2 63 y 63 0，6y0，解得 x1，y0，n1(1，0，1)同理可求出平面 DPC 的法向量 n20，12，1.第78页高考调研 高三总复习 数学（理）从而平面 BPC 与平面 DPC 夹角 的余弦值为 cos|n1n2|n1|n2|12141 105.【答案】(1)略(2)AB 63，105第79页高考调研 高三总复习 数学（理）例 2(2016保定模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAABA
37、D2，四边形 ABCD 满足 ABAD，BCAD 且 BC4，点 M 为 PC 中点，点 E 为BC 边上的动点，且BEEC.(1)求证：平面 ADM平面 PBC；(2)是否存在实数，使得二面角 PDEB 的余弦值为23？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由第80页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)证明：取 PB 中点 N，连接 MN，AN.M 是 PC 中点，MNBC，MN12BC2.又BCAD，MNAD，MNAD，四边形 ADMN 为平行四边形 APAD，ABAD，AD平面 PAB.ADAN，ANMN.APAB，ANPB，AN平面 PBC.AN平面 ADM，平面 ADM
38、平面 PBC.第81页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)存在符合条件的.以 A 为原点，AB 方向为 x 轴，AD 方向为 y 轴，AP 方向为 z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz.设 E(2，t，0)(0t4)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，B(2，0，0)，则PD(0，2，2)，DE(2，t2，0)平面 PDE 的法向量为 n1(2t，2，2)又平面 DEB 即为 xAy 平面，其一个法向量为 n2(0，0，1)，第82页高考调研 高三总复习 数学（理）cosn1，n2 n1n2|n1|n2|2（2t）24423.解得 t3或 t1，3 或 13.【答案】(1)略(2)存在，3 或 13请做：题组层级快练（四十五）-（四十六）
