1、题型专题(十九)选修 44(坐标系与参数方程)师说考点1圆的极坐标方程若圆心为 M(0，0)，半径为 r，则圆的方程为：220cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r：r；(2)当圆心位于 M(a，0)，半径为 a：2acos；(3)当圆心位于，半径为 a：2asin.2直线的极坐标方程若直线过点 M(0，0)，且极轴与此直线所成的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0 和 0；(2)直线过点 M(a，0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过且平行于极轴：sin b.典例(2016全国甲卷
2、)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是(t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|10，求 l的斜率解(1)由 xcos，ysin 可得圆 C 的极坐标方程为 212cos 110.(2)法一：由直线 l 的参数方程(t 为参数)，消去参数得 yxtan.设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 kxy0.由圆 C 的方程(x6)2y225 知，圆心坐标为(6，0)，半径为 5.又|AB|10，由垂径定理及点到直线的距离公式得251022，即90
3、4，整理得 k253，解得 k 153，即直线 l 的斜率为 153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)设 A，B 所对应的极径分别为 1，2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 212cos 110，于是 1212cos，1211.|AB|12|（12）2412 144cos244.由|AB|10得 cos238，tan 153.所以直线 l 的斜率为 153 或 153.类题通法极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 cos，sin，2 的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角
4、和差公式，转化 sin()或 cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的 x 转化为 cos，将 y 换成 sin，即可得到其极坐标方程 演练冲关(2016山西质检)已知曲线 C1：x 3y 3和 C2：x 6cos，y 2sin(为参数)以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线 C1 和 C2 的方程化为极坐标方程；(2)设 C1 与 x，y 轴交于 M，N 两点，且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与 C1，C2 交于 P，Q 两点，求 P，Q 两点间的距离解：(1)C1：sin6 32，C2：2
5、612sin2.(2)M(3，0)，N(0，1)，P32，12，OP 的极坐标方程为 6，把 6 代入 sin6 32 得 11，P1，6.把6 代入 2612sin2得 22，Q2，6.|PQ|21|1，即 P，Q 两点间的距离为 1.师说考点几种常见曲线的参数方程(1)圆以 O(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是xarcos，ybrsin，其中 是参数当圆心在(0，0)时，方程为xrcos，yrsin，其中 是参数(2)椭圆椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程是xacos，ybsin，其中 是参数椭圆x2b2y2a21(ab0)的参数方程是xbcos，yasin，其中 是参数
6、(3)直线经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程是xx0tcos，yy0tsin，其中 t 是参数典例(2016全国丙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x 3cos，ysin(为参数)以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin4 2 2.(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标解(1)C1 的普通方程为x23y21，C2 的直角坐标方程为 xy40.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(3cos，sin
7、)因为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d()的最小值，d()|3cos sin 4|2 2sin3 2，当且仅当 2k6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标为32，12.类题通法有关参数方程问题的 2 个关键点(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义 演练冲关(2016郑州质检)平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：(x1)2y21.直线 l 经过点 P(m，0)，且倾斜角为6，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)写出曲线 C 的
8、极坐标方程与直线 l 的参数方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|PA|PB|1，求实数 m 的值解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为：(x1)2y21，即 x2y22x，即 22cos，所以曲线 C 的极坐标方程为：2cos.直线 l 的参数方程为xm 32 t，y12t(t 为参数)(2)设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，将直线 l 的参数方程代入 x2y22x 中，得 t2(3m 3)tm22m0，所以 t1t2m22m，由题意得|m22m|1，解得 m1 或 m1 2或 m1 2.1(2016南昌模拟)已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos.以极点为
9、平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是x1tcos，ytsin(t 是参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB|14，求直线的倾斜角 的值解：(1)由 4cos 得其直角坐标方程为(x2)2y24.(2)将x1tcos，ytsin 代入圆 C 的方程得(tcos 1)2(tsin)24，化简得 t22tcos 30.设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，则t1t22cos，t1t23，|AB|t1t2|（t1t2）24t1t2 4cos212 14，4cos22，
10、故 cos 22，即 4 或34.2(2016广西质检)已知直线 l 的参数方程为x1tcos，y1tsin(t 为参数)，曲线 C1 的参数方程为x22cos t，y42sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线 C2 的极坐标方程为 4cos.(1)若直线 l 的斜率为 2，判断直线 l 与曲线 C1 的位置关系；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(0，02)解：(1)斜率为 2 时，直线 l 的普通方程为 y12(x1)，即 y2x3.将x22cos t，y42sin t消去参数 t，化为普通方程得(x2)2(y4)24，则曲线 C1 是以
11、C1(2，4)为圆心，2 为半径的圆，圆心 C1(2，4)到直线 l 的距离 d|443|53 55 3)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若曲线 C 与直线 l 有唯一公共点，求 a 的值解：(1)由 22 3sin a 知其直角坐标方程为 x2y22 3ya，即 x2(y 3)2a3(a3)(2)将 l：x112t，y 3 32 t代入曲线 C 的直角坐标方程得(112t)232 t2a3，化简得 t2ta20.曲线 C 与直线 l 仅有唯一公共点，14(a2)0，解得 a94.6(2016广州五校联考)在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：xcos，ysin2(为
12、参数)，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：cos4 22，曲线 C3：2sin.(1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标；(2)设点 A，B 分别为曲线 C2，C3 上的动点，求|AB|的最小值解：(1)曲线 C1：xcos，ysin2消去参数，得 yx21，x1，1 曲线 C2：cos4 22 xy10，联立，消去 y 可得：x2x20 x1 或 x2(舍去)，所以 M(1，0)(2)曲线 C3：2sin x2(y1)21，是以(0，1)为圆心，半径 r1 的圆 设圆心为 C，点 C，B 到直线 xy10 的距离分别为 d，d，则 d|011|2 2，
13、|AB|ddr 21，所以|AB|的最小值为 21.7(2016武昌区调研)将圆 x2y21 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线.(1)写出 的参数方程；(2)设直线 l：3x2y60 与 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为 上的点(x，y)，依题意，得x2x1，y3y1，即x1x2，y1y3.由 x21y211，得 x22 y321.即曲线 的方程为x24y291.故 的参数方程为x2cos ty3sin t(
14、t 为参数)(2)由x24y291，3x2y60，解得x2，y0或x0，y3.不妨设 P1(2，0)，P2(0，3)，则线段 P1P2 的中点坐标为1，32，所求直线的斜率 k23.于是所求直线方程为 y3223(x1)，即 4x6y50.化为极坐标方程，得 4cos 6sin 50.8(2016石家庄模拟)在极坐标系中，已知曲线 C1：2cos 和曲线 C2：cos 3，以极点 O 为坐标原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线 C1 和曲线 C2 的直角坐标方程；(2)若点 P 是曲线 C1 上一动点，过点 P 作线段 OP 的垂线交曲线 C2 于点 Q，求线段 PQ 长度的最小值解：(1)C1 的直角坐标方程为(x1)2y21，C2 的直角坐标方程为 x3.(2)设曲线 C1 与 x 轴异于原点的交点为 A，PQOP，PQ 过点 A(2，0)，设直线 PQ 的参数方程为x2tcos，ytsin(t 为参数)，代入 C1 可得 t22tcos 0，解得 t10，t22cos，可知|AP|t2|2cos|.代入 C2 可得 2tcos 3，解得 t1cos，可知|AQ|t|1cos ，|PQ|AP|AQ|2cos|1cos 2 2，当且仅当|2cos|1cos 时取等号，线段 PQ 长度的最小值为 2 2.
