1、商开大联考20202021学年下学期期中考试高二数学(文科)考生须知：1 本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2 答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.3 请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.4 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5 保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
2、要求的。1.若（是虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 复数的知识结构图如图所示,其中四个方格中的内容分别为（ ）A.实数.纯虚数、无理数、有理数B实数、虚数、负实数、正实数C.实数、虚数、无理数、有理数D.实数、虚数、有理数、无理数3. 河南师范大学数学与信息科学学院前身是始建于1923年的中州大学(原河南大学的前身)的数理系和创建于1951年的平原师范学院数学系,是河南师范大学设立最早的院系之一,2000年根据人才培养和学科专业建设的需要撤销数学系,组建数学与信息科学学院,简称数科院,该学院2020年毕业生就业率高达100%.关
3、于数科院2020届一班的学生,有下列三个说法:安梦琦是数科院2020届一班的毕业生;安梦琦目前从事中学数学教育教学工作;数科院2020届一班的毕业生目前都从事中学数学教育教学工作.将这三个说法写一个“三段论”形式的推理,则大前提、小前提和结论依次为（ ）A B C D 4. 观察下图中图形的规律,最适合填入问号处的是（ ）A B C. D5. 用反证法证明命题“若关于的一元二次方程有有理根,那么中至少又一个偶数”时.下列假设正确的是（ ）A假设都是偶数 B假设都不是偶数 C. 假设最多有一个是偶数 D假设最多有两个是偶数6. 2020年12月初某超市与蔬菜种植户签订进货合同,以元/千克的单价购
4、进一批大葱,并且每天都以不同的价格投放市场,经过一个月的市场营销,得到该批大葱每天的销售量(千克)与大葱的销售单价（元/千克）的情况如下：由表中数据计算出线性回归方程中的.若该超市将某一天大葱的销售价格定为元/千克时,则该超市这天销售大葱获得的利润估计为（ ）A B C. D7. 给出下列四个命题:若复数满足士R,则;若复数满足,则;若复数满足,则互为共扼复数;若复数满足是虚数不是的共扼复数.其中真命题的个数是（ ）A B C. D8.在数列中，若，则等于（ ）A B C. D9. 在证明命题“对任意两个实数，若，则的取值范围是”时，我们可以构造函数，因为，所以对任意实数都成立,所以，所以，则
5、的取值范围是，类比上述的方法,若个实数满足时，能得到的取值范围是（ ）A B C. D10. 若复数的模为,则的取值范围是（ ）A B C. D11. 对于任意实数,符号表示不超过的最大整数,如,函数叫做“取整函数”,也叫做高斯()函数.这个函数在数学本身和生产实践中都有广泛的应用.小明利用学习过的对数知识,发现:,对应的是一个位数，是一个位数,依此规律,若,且,则是（ ）A.一位数 B.两位数 C.三位数 D.四位数12. 研究发现,任意一个三次函数的图象必有一个对称中心.一般地,判断点是否是三次函数图象的对称中心的流程如图所示,对于函数，其图象的对称中心以及的值分别是（ ）A B C. D
6、二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.复数在复平面内对应点的坐标为 14. 我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”,他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数相减后余数被除,所得的数作为“实”,作为“隅”，开平方后即得面积.所谓“实”、“隅指的是在方程中,为“隅”,为“实”.这个求三角形面积的方法,可用如图所示的程序框图表示.若中,利用这种方法可求出的面积为 15. 对与进行独立性检验时,关于随机变量的下列说法中,正确的有 (填序号)
7、.的值越大,与的相关性越大;的值越小“与有关系”的可信程度越小;若求出,则有的把握认为“与有关系”,即“与有关系”的推断出现错误的概率不会超过;在列联表中,若每个数据变为原来的倍,则的值变为原来的倍.附：16. 有一个游戏:将分别标有“恭”“喜”“发“财”的四张卡片随机发给张、王、李、赵个人,每人一张,这个人在看过自己的卡片上标的字之后,张说:王或李拿到了标有“发”的卡片;王说:张或李拿到了标有“喜”的卡片;李说:标有“恭”的卡片在张手中;赵说:张拿到了标有“发”的卡片.如果张、王、李、赵个人说的都是假话,那么张、王、李,赵个人拿到卡片上的字依次为 三解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明
8、过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。17. 已知是虚数,是实数.求若的实部与虚部相同,求.18. 高中阶段有这样一句话,成也数学败也数学,意思是说数学成绩好的同学总成绩也好,数学成绩不好的同学总成绩也不好.某市教育局对本届高三学生的上学期期末考试成绩进行随机调查得到如下列联表:总成绩好总成绩不好总计数学成绩好数学成绩不好总计求表中的值;能否有的把握认为学生总成绩不好与数学成绩不好有关?附：19. 若都是正数,且.求的最小值;若是不相等的实数,证明:20. 某集团商品的推销员每年推销商品的件粉(件)往往与推销员从事推销工作的年数
9、(年)有关,该集团人事部随机调研了集团内推销吊每年推销商品的件数(件)与推销员从事推销工作的年数(年),得到一组数据如下.利用相关系数判断与之间相关关系的强弱(若,则与间相关关系强,否则相关关系弱);求线性回归直线方程预测从事推销工作年的推销员推销商品的件数会不会比从事推销工作年的推销员推销商品的件数的倍还要多?附：相关系数回归直线方程中，21. 已知椭圆,点在圆上,圆在点处的切线与椭圆相交于两点,试用反证法证明:以为直径的圆不过坐标原点.(二)选考题:共10分。请考生在第22,23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修4-4;坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线(
10、是参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程;设,直线与曲线交于两点,求的值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数解不等式若对任意实数都成立,求实数的最小值.商开大联考20202021学年下学期期中考试高二数学（文科）参考答案、提示及评分细则1 因为，故在复平面内对应的点在第一象限故选2 由复数与实数、整数、分数的包含关系知正确故选3 根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，以及大前提、小前提和结论的关系，可知选4 黑点和白点排成行列，规律是每一行中都是黑白故选5 ，中存在偶数，反面就是，中没有偶数，即都不是偶数故选6 因为，
11、所以，解得，所以（元/千克）时（千克），（元）故选7 对于，设复数（，），则，若，则，所以，故为真命题；对于，若复数，则，但，故为假命题；对于，若复数，满足，但，故为假命题；对于，若和是共轭复数，则为实数，不会为虚数，故为真命题故选8 因为，所以，由此可归纳得到（，），所以故选9 令，由于对一切实数，恒有，所以，所以故选10 因为复数（，）的模为，所以（，）又表示半圆（，）上的动点与定点连线的斜率，如图，过点作半圆的切线，切点为，在直角中，所以故选11 因为，即，所以是一个两位数，所以是两位数故选12 因为，所以，令，解得，又，所以三次曲线的对称中心是，则所以，于是故选13 因为，而，所以，故
12、对应的点的坐标为14 根据程序框图直接将，代入，得，执行下一步，得，故输出的值为15 的值越大，说明有更大的把握认为与有关系，但却不能判断其相关性大小，故错，正确；对于，若列联表中，若每个数据变为原来的倍，则的值变为是原来的倍，所以正确16财，喜，恭，发 由张、赵说假话可得赵拿到标有“发”的卡片，由王说假话可得王拿到标有“喜”的卡片，由李说假话可知张拿到标有“财”的卡片，故李拿到标有“恭”的卡片，即张、王、李、赵个人拿到卡片上的字依次为财，喜，恭，发17解：（1）设（，且），则因为是实数，所以又因为，所以，（2）因为的实部与虚部相同，所以与联立，解得或所以或18解：（1）由，得由，得由，得由，
13、得注：，的值，求对三个给5分，求对两个给3分，只求对一个给2分（2）因为，因此有的把握认为学生总成绩不好与数学成绩不好有关19（1）解：因为，都是正数且，所以，当且仅当时等号成立所以时，的最小值为（2）证明：若，则显然成立；若，要证明，只要证明，只要证明，即证，因为，所以成立，所以当时，原不等式也成立综上所述，原不等式成立20解：（1）因为，所以与之间具有很强的相关关系（2），故回归直线方程为（3）因为时，；时，；由于，所以可以预测从事推销工作10年的推销员推销商品的件数比从事推销工作2年的推销员推销商品的件数的倍还要多21证明：假设以为直径的圆过原点，则当直线的斜率不存在时，直线的方程是：或，直线与椭圆：的交点是，或，当直线的斜率不存在时，假设不成立当直线的斜率存在时，设直线的方程是，联立消去，并整理得直线与椭圆相交于，两点，化简得设，则，又直线与圆相切，解得，这是不可能的当直线的斜率存在时，假设也不成立无论直线的斜率是否存在，假设都不成立，以为直径的圆不过原点22解：（1）由得所以，即曲线的普通方程是由，得，又，所以，即直线的直角坐标方程为（2）因为直线经过点，且倾斜角是，所以直线的参数方程是（是参数）设，对应的参数分别为，将直线的参数方程代入，整理得，所以，所以23解：（1）因为由，得或或解得，所以不等式的解集是（2）因为对任意实数都有，所以，所以实数的最小值是
