1、专题8：等差数列、等比数列(两课时)班级 姓名 一、课前测试1(1)已知数列an满足a14，an4(nN*且n2)，令bn，求证：数列bn是等差数列提示：用等差数列的定义来证，即证bnbn1(常数)(2)数列an前n项和为Sn，若anSnn，令bnan1，求证：数列bn是等比数列.提示：先利用数列的前n项和与通项an之间的关系，找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证即由anSnn，得an1Sn1n1，两式相减得2anan11即2bnbn1从而有(常数)2已知数列an满足an2an12n1(nN*且n2)，a12，令bn(ant) (nN*)，否存在一个实数t，使得数列bn为等差数列？若存在
2、，求出实数；若不存在，请说明理由答案：存在实数t1，使得数列bn为等差数列3(1)设等差数列an的前n项和为Sn，且S3与S4的等差中项为1，而S3与S4的等比中项是S5，则an (2)已知在等比数列an中，a32，a2a4，则an 答案：(1)an1或ann； (2) an23n3或an2()n34 (1)设在等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求 ； (2)若两个等差数列an和bn的前n项之和分别是Sn、Tn，已知，则 (3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为 答案：(1)n6， q2或；(2)；(3)3105 (1)已知an是等
3、差数列，若a120，公差d2，求数列前n项和Sn的最大值(2)已知an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是 d0；a70；S9S5；S6和S7均为Sn的最大值.答案：(1)当且仅当n10或11时，Sn取得最大值110(2)二、方法联想1等差、等比数列的证明方法 证明数列是等差数列：方法1 定义法，即当nN*时，an1an为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时，2an1anan2均成立方法 证明数列是等比数列：方法1 定义法，即当nN*时，为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时，an12anan2均成立，且an0 2等差、等比数列的呈现等差数列的呈
4、现形式呈现1 通项为一次形式，即ananb呈现2 前n项和为不含常数项的二次形式，即Snan2bn呈现3 若数列an为等比数列，且an0，则logaan为等差数列注意 上述呈现形式只能做为判断，在解答题中需要加以证明判断数列不是等差数列方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列等比数列的呈现形式呈现1 通项公式为指数幂形式，即anaqn呈现2 若数列an的前n项和为Sna(qn1)(a0，q1，q0) 呈现3 若数列an为等差数列，则aa为等比数列注意 上述呈现形式只能做为判断，在解答题中需要加以证明 判断数列不是等比数列方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列3基本量运算基
5、本量法：等差、等比数列中，五个元素a，q，n，an，Sn中只有3个是独立的，其余2个都可以用3个独立的基本量表示，即知三求二【变式】在等差数列an中，若a1a2a2130，则S15_ (基本量解决问题时，也应根据目标“按需所求”)4性质的应用方法 (1)在等差数列an中，若mnpq则amanapaq特别若mn2p，则aman2ap 在等比数列an中，若mnpq则amanapaq特别若mn2p，则amanap2 (2) 在等差数列an中，由Sn得，若n为奇数，则S2n1(2n1)an方法 在等差数列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列在等比数列an中，一般情况下Sn，S2nSn，S3
6、nS2n成等比数列【变式】 （1）若两个等差数列an和bn的前n项之和分别是Sn、Tn，已知，则 （2）已知一个等差数列an中，a1a2a32，a2a3a41，则数列an的前6项的和 答案：（1）；（2）55等差数列Sn的最值问题方法 在等差数列 an 中Sn 的最值问题：方法1：(1)当a10，d0时，满足的项数m使得Sm取最大值. (2)当a10，d0时，满足的项数m使得Sm取最小值，方法2：由Sn 的解析式，结合二次函数图象分析【变式】已知an是等差数列，若a120，数列前n项和Sn取得最大值的条件的n10，求公差的取值范围(已知等差数列取得最值的条件，确定参数的取值范围)答案：(，2)
7、三、例题分析例1 已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a2a414，S770.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的最小项是第几项，并求出该项的值解：(1) an3n2.(2)数列bn的最小项是第4项，该项的值为23.教学建议(1) 主要问题归类与方法：1求数列的通项：方法利用等差(比)数列的通项公式；构造等差(比)数列；由Sn与an的关系求通项；用不完全归纳法，猜想数列的通项，再证明2求数列的最大项问题：将数列的通项看作是n的函数，通过讨论相应函数的单调性来求最值；考察数列的单调性，求最大项；利用基本不等式求最值(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因
8、为本题已知数列是等差数列，所以选择方法对于问题2，学生一般会选择，因为本题中bn3n1便于用基本不等式求最值，但要注意这里n必须取正整数，所以选择方法例2 已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a465，a1a518(1)求数列an的通项公式an；(2)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i值；(3)是否存在常数k，使得数列为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由解: (1) an4n3.(2) i3 (3)由(1)知，Sn2n2n假设存在常数k，使数列为等差数列，【法一】由2，得k1 当k1时，n，易知数列为等差数列【法二】假设存在常数k，使
9、数列为等差数列，由等差数列通项公式可知设anb， 得2n2(k1)n(an)22abnb2恒成立，可得a22，2abk1，b20，a22，b0，k1 n，易知数列为等差数列教学建议(1)主要问题归类与方法：1等差(比)数列基本量的计算：方法: 利用等差(比)数列的通项公式与前n项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式及前n项和公式求基本量；2条件探索性问题： 方法: 利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件； 从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明(2)方法选择与优化建议：对于问题1，一
10、般优先考虑方法，如没性质可用，就用方法，本题先用性质简化后，先求出a2和a4，再求d，然后用ana2(n2)d，求通项，当然本题用方法也很简单 对于问题2，学生一般会选择方法，由特例求k的值比较方便，所以用方法例3 已知Sn是数列an的前n项和，且anSn12 (n2)，a12 (1)求数列an的通项公式；(2)对于给定的k (k1，2，n)设T(k)表示首项为ak，公差为2ak1的等差数列，求数列T(2)的前10项之和；(3)设bi为数列T(i)的第i项，Mnb1b2b3bn，求Mn解：(1) an2n (2) T(2)的前10项之和为355 (3) Mn(2n3) 2n16教学建议(1)主
11、要问题归类与方法：1求数列的通项：方法: 利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an利用等差(比)数列的通项公式，求通项；构造等差(比)数列求通项；用累加(乘)法求通项2数列求和问题：方法：利用等差(比)数列前n和公式求和；分部求和；错位相减法；裂项求和(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择，因为本题中给出数列通项an与Sn之间的关系，可以通过公式转化为数列的递推关系，由于递推关系可以很容易判定数列为等差数列，所以选择方法对于问题2，学生一般会选择，因为数列T(i)是等差数列，所以选择方法，数列Mn的通项是由一个等差数列与一个等比数列相应项相乘所成的，所以选
12、择方法四、反馈练习(专题8：等差数列、等比数列)1. 在等差数列an中，a6a3a8，则数列an的前9项的和为 答案：0(考查等差数列性质及求和公式)2. 设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则q 答案：(考查等比数列的通项公式及前n项和公式)3. 已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10 答案：7(考查等差数列与等比数列的基本性质)4. 等差数列an的前n项和为Sn ，已知a58，S36，则S10S7的值是 答案：48(考查数列的基本性质和基本量运算)5. 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的
13、正整数n的个数是 答案：5(考查等差数列前n项和与an之间关系)6在等比数列an中，a1=8，a4=a3a5，则a7 答案：（考查等比数列计算）7(1) 已知数列an的前n项和Sn nn，则数列bn的前5项的和为 .(2)设等比数列an各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10 答案：(1) ；(2)10（考查 (1)Sn与an间关系；(2)利用等比数列的性质结合对数的运算法则解题）8等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为 答案：（考查等比数列基本量运算）9在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当
14、n8时Sn取最大值，则d的取值范围_答案：1d（考查Sn与an间关系）10设a1，a2，an是各项不为零的n(n4)项等差数列，且公差d0若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对(n，)所组成的集合为_答案：(4，4)，(4，1) （考查等差数列，等比数列）11等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1) 求数列an的通项an与前n项和Sn；(2) 设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列答案：an2n1，Snn(n)（考查（1）等差数列通项及前n项和基本量运算；（2）证明三项不可能成等比数列方法：反证法12 已知等差数列an
15、的公差和等比数列bn的公比相等，且都等于d（d0，d1）.若a1b1，a33b3，a55b5，求an，bn答案： an(n6)，bn()n1（考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.）13在数列an中，a11，an12an2n(1)设bn，证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.答案:Sn (n1)2n1 （考查等差数列的证明、通项公式的求法、错位相减法）14已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2Sn Sn 10(n2，nN*)，a1，求数列an的通项公式答案： an（考查an与Sn的关系及等差数列）15设等差数列an的前n项和为Sn
16、，且a5a1334，S39（1）求数列an的通项公式及前n项和公式；（2）设数列bn的通项公式为bn，问: 是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m3，mN*)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.答案：(1)an2n1，Snn2；（2）t5，m4；t3，m5；t2，m7（考查等差数列中的基本运算，整数的性质）16已知等差数列an中，公差d0，其前n项和为Sn，且满足a2a345，S428(1)求数列an的通项公式；(2)设由bn (c0)构成的新数列bn，求证：当且仅当c时，数列bn是等差数列；(3)对于(2)中的等差数列bn，设cn（nN*），数列cn的前n项和为Tn，现有数列 f(n)，f(n)Tn（nN*），求证：存在整数M，使f(n)M对一切nN*都成立，并求出M的最小值 答案：(1) an4n3 (3)整数M2，所以M的最小值为2 （考查数列综合应用）
