1、高考资源网（） 您身边的高考专家2013届高三数学章末综合测试题（3）函数、基本初等函数()、函数的应用 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1函数的定义域是（ ） A1，)B.C. D. 解析：要使函数有意义，只要 得05x41，即x1.函数的定义域为. 答案：D2设a20.3，b0.32，clogx(x20.3)(x1)，则a，b，c的大小关系是()Aabc BbacCcba Dbca解析：a20.3212，且a20.3201，1a2. b0.320.301. x1，clogx(x20.3)logxx22. cab. 答案：B3已知函数f(x)ln(x)，若实数a，b满足f(
2、a)f(b1)0，则ab等于() A1 B0 C1 D不确定解析：观察得f(x)在定义域内是增函数，而f(x)ln(x)ln f(x)， f(x)是奇函数，则f(a)f(b1)f(1b) a1b，即ab1. 答案：C4已知函数f(x)则不等式f(x)0的解集为()Ax|0x1 Bx|1x0 Cx|1x1 Dx|x1解析：当x0时，由log2x0，得log2x0，即0x1. 当x0时，由1x20，得1x0. 故不等式的解集为x|1x1. 答案：C5同时满足两个条件：定义域内是减函数；定义域内是奇函数的函数是()Af(x)x|x| Bf(x)x3Cf(x)sinx Df(x)解析：为奇函数的是A、
3、B、C，排除D. A、B、C中在定义域内为减函数的只有A. 答案：A6函数f(x)x与函数g(x)在区间(，0)上的单调性为()A都是增函数B都是减函数Cf(x)是增函数，g(x)是减函数Df(x)是减函数，g(x)是增函数解析：f(x)x在x(，0)上为减函数，g(x)在(，0)上为增函数. 答案：D7若x(e1,1)，alnx，b2lnx，cln3x，则()Aabc BcabCbac Dbca解析：alnx，b2lnxlnx2，cln3x.x(e1,1)，xx2.故ab，排除A、B.e1x1，1lnxln10.lnxln3x.ac.故bac，选C. 答案：C8已知f(x)是定义在(，)上的
4、偶函数，且在(，0上是增函数，若af(log47)，cf(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是()Acba BbcaCcab Dabc解析：函数f(x)为偶函数，bf(log3)f(log23)，cf(0.20.6)f(50.6)50.62log23log49log47，f(x)在(0，)上为减函数，f(50.6)f(log23)f(log47)，即cba. 答案：A9某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和 L22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606万元 B45.6万元C46.
5、8万元 D46.806万元解析：设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15x)辆，总利润LL1L25.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30，当x10.2时，L最大但由于x取整数，当x10时，能获得最大利润，最大利润L0.151023.06103045.6(万元). 答案：B10若f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x3)f(x)，f(2)0，则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A5B4C3D2解析：f(5)f(23)f(2)0，又f(2)f(2)0，f(4)f(1)f(2)0， 在(0,6)内x1,2,4,5是方程f(x)0的根. 答案：B11函数f(x)
6、xlog2x的零点所在区间为()A0， B，C， D，1解析：因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在四个选项中，只有ff0，所以零点所在区间为. 答案：C12定义在R上的函数f(x)满足f(x2)3f(x)，当x0,2时，f(x)x22x，则当x4，2时，f(x)的最小值是()A B C. D1解析：f(x2)3f(x)，当x0,2时，f(x)x22x，当x1时，f(x)取得最小值所以当x4，2时，x40,2，所以当x41时，f(x)有最小值，即f(3)f(32)f(1)f(1). 答案：A第卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13若函数f(x)ax2x1
7、的值域为R，则函数g(x)x2ax1的值域为_解析：要使f(x)的值域为R，必有a0.于是g(x)x21，值域为1，)答案：1，)14若f(x)是幂函数，且满足3，则f_.解析：设f(x)x，则有3，解得23，log23，答案：15若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是_解析：设函数f(x)x2(k2)x2k1，结合图像可知， 即解得 故实数k的取值范围是.答案：16设函数f(x)若f(x)为奇函数，则当0x2时，g(x)的最大值是_解析：由于f(x)为奇函数，当2x0时，f(x)2x有最小值为f(2)22，故当0x2时，f(x)g(x
8、)log5(x)有最大值为f(2)，而当0x2时，ylog5(x)为增函数，考虑到g(x)f(x)log5(x)，结合当0x2时，f(x)与ylog5(x)在x2时同时取到最大值，故g(x)maxf(2)log5(2)1.答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分17(10分)已知函数f(x)()x，x1,1，函数g(x)f2(x)2af(x)3的最小值为h(a)，求h(a)解析：x1,1，x.设tx，t，则(t)t22at3(ta)23a2，当a时，g(x)minh(a)；当a3时，g(x)minh(a)(a)3a2；当a3时，g(x)minh(a)(3)126a.h(a)18(12分)设直
9、线x1是函数f(x)的图像的一条对称轴，对于任意xR，f(x2)f(x)，当1x1时，f(x)x3.(1)证明：f(x)是奇函数；(2)当x3,7时，求函数f(x)的解析式解析：(1)x1是f(x)的图像的一条对称轴，f(x2)f(x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x2)f(x)，即f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，若x3,5，则(x4)1,1，f(x4)(x4)3.又f(x4)f(x)，f(x)(x4)3，x3,5若x(5,7，则(x4)(1,3，f(x4)f(x)由x1是f(x)的图像的一条对称轴，可知f2(x4)f(x
10、4)，且2(x4)(6x)1,1，故f(x)f(x4)f(6x)(6x)3(x6)3，x(5,7综上，可知f(x)19(12分)已知函数f(x)，常数a0.(1)设mn0，证明：函数f(x)在m，n上单调递增；(2)设0mn，且f(x)的定义域和值域都是m，n，求nm的最大值解析：(1)任取x1，x2m，n，且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为x1x2，x1，x2m，n，且mn0所以x1x20，即f(x1)f(x2)，故f(x)在m，n上单调递增(2)因为f(x)在m，n上单调递增，f(x)的定义域、值域都是m，nf(m)m，f(n)n，即m，n是方程x的两个不相等的正根a2x2(2a2a
11、)x10有两个不相等的正根，所以(2a2a)24a20，0a.nm ，a，a时，nm取取最大值.20(12分)如图所示，图是定义在R上的二次函数f(x)的部分图像，图是函数g(x)loga(xb)的部分图像(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；(2)如果函数yg(f(x)在区间1，m)上单调递减，求m的取值范围解析：(1)由题图得，二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f(x)a(x1)22.又函数f(x)的图像过点(0,0)，故a2.整理，得f(x)2x24x.由题图得，函数g(x)loga(xb)的图像过点(0,0)和(1,1)，故有g(x)log2(x1)(x1)(2
12、)由(1)得，yg(f(x)log2(2x24x1)是由ylog2t和t2x24x1复合而成的函数，而ylog2t在定义域上单调递减，要使函数yg(f(x)在区间1，m)上单调递减，必须t2x24x1在区间1，m)上单调递减，且有t0恒成立由t0，得x.又t的图像的对称轴为x1，所以满足条件的m的取值范围为1m.21(12分)金融风暴对全球经济产生了影响，温总理在广东省调研时强调：在当前的经济形势下，要大力扶持中小企业，使中小企业健康发展为响应这一精神，某地方政府决定扶持一民营企业加大对A、B两种产品的生产根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图，B产品的利润与投资的算术平方根
13、成正比，其关系如图.(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)解析：(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元设f(x)k1x，g(x)k2.由题图知，f(1)，所以k1.又由题图知，g(4)，所以k2.从而f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10x)万元设企业利润为y万元，则yf(x)g(10x)(0x10)令t，则yt(
14、t)2(0t)当t时，ymax4.此时x103.75.故当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得的最大利润约为4万元22(12分)已知函数f(x)(常数a0)，且f(1)f(3)2.(1)求a的值；(2)试研究函数f(x)的单调性，并比较f(t)与2的大小；(3)设g(x)m(x2)2，是否存在实数m，使得yg(x)有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)由f(1)f(3)2，得a(a2)0.又a0，所以a2.(2)由(1)知，函数f(x)，其定义域为(，2)(2，)设x1，x2(，2)，且x1x2，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x
15、2)，故f(x)在区间(，2)上是增函数同理，可得f(x)在区间(2，)上是增函数令h(x)2，则函数h(x)在区间(，0)，(0，)上是减函数当t时，f(t)f，h(t)h (3)由(1)得，g(x) m(x2)2.函数g(x)的定义域为x|x2，且x2故g(x)m(x2)2(x2，且x2)，令t(t0)，所以g(x)0可转化为方程mt2t20.要使g(x)有零点，则方程mt2t20必有正实数根，当m0时，t2，2，x2，这与定义域不符当m0时，0，0，所以如果方程存在实数根，则必为正实数根，故只需使18m0即可故m0时，满足条件的m的取值范围为0m，当m0时，方程有一正根一负根，符合题意所以m的取值范围是(，0).高考资源网版权所有，侵权必究！
