1、专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示【考纲解读与核心素养】1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题.2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.4培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.5.高考预测：（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（2）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现6.备考重点：(1) 理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解
2、析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【知识清单】1平面向量基本定理平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底6相反向量：长度相等且方向相反的向量2平面向量的坐标运算1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都
3、可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(2)若，则3平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则(3)设，则，.3平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若，则.【典例剖析】高频考点一 ：平面向量基本定理及其应用【典例1】（2020烟台市教育科学研究院高一期末）在中，为边上的中线，为的中点，则( )ABCD【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选
4、A.【典例2】（2019山东高考模拟（文）如图，在中，是上一点，若则实数的值为_【答案】【解析】由题意及图，又，所以，（1m），又t，所以，解得m，t，故答案为：【总结提升】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的【变式探究】1.（2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试）如图，在中，点是线段上两个动点， 且
5、 ，则的最小值为（ ）A B C D 【答案】D【解析】如图可知x，y均为正，设，共线，则，则的最小值为，故选D.2.（2019江西高考模拟（理）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简，所以，即，故选：A【易错提醒】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决高频考点二：平面向量的坐标运算【典例3】（2020天津滨海新高三
6、月考）如图，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：若取，则，点在阴影区域内，A正确；若取，则，点在直线的上方，B错误；若取，则，点在直线的下方，C错误；若取，则，点在射线上，D错误，故选：A.【典例4】（浙江省2019届高考模拟卷（三)）已知直线与抛物线交于两点，点，且，则_【答案】-3【解析】设，则，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则.故答案为-3.【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段
7、两端点的坐标，则应先求向量的坐标要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解【变式探究】1（2019吉林高考模拟（理）已知向量，其中，则的最小值为（ ）A1B2CD3【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，故的最小值为.故选A2（2020上海高二课时练习）已知三点共线，则，则_，_【答案】3 【解析】由，可得，因为，即，可得，解得.故答案为：，.高频考点三：平面向量共线的坐标表示【典例5】（2020桂阳县第二中学期中）已知、，.（1）求点、及向量的坐标；（2）求证：.【答案
8、】（1），（2）证明见解析【解析】（1）设点，即，解得： ，故设点，即，解得，故（2），故【典例6】（浙江省金丽衢十二校2019届联考）过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为_ 【答案】【解析】设，则于是，同理，于是我们可以得到 .即，所以Q点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，所以【规律方法】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时
9、，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便【变式探究】1（2020山东诸城高一期中）（多选题）已知，则以下结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D的最小值为【答案】BD【解析】，则.对于A选项，若，则，所以，或，A选项错误；对于B选项，若，则，则，B选项正确；对于C选项，若，且，则，或，C选项错误；对于D选项，由向量模的三角不等式可得，D选项正确.故选：BD.2（2019陕西咸阳市实验中学高考模拟（文）已知平面向量，若向量与向量共线，则x=（ ）ABCD【答案】B【解析】由，得因为所以，解得故选：B高频考点四：平面向量共线坐标表示的应用【
10、典例7】（2019江苏高考模拟）如图，在平面四边形中，点为线段的中点若()，则的值为_【答案】【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设ABBC2，则有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC2，AD2tan30，过D作DFx轴于F，DAF180904545，DFsin45，所以D（，），（2,2），（，），（2,1），因为，所以，（2,2）（，）+（2,1），所以，解得：的值为故答案为：【典例8】（2020辽宁沈阳高一期末）在平行四边形中，（1）若为上一点，且，用基底表示；（2）若，且与平行，求实数的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）因为，所以由
11、于则所以.【总结提升】利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便【变式探究】1.（2019四川高考模拟（理）已知向量=（sin2，1），=（cos，1），若， ，则_【答案】【解析】向量=（sin2，1），=（cos，1），若，则sin2cos=0，即2sincos=cos；又，cos0，sin=，故答案为：2.（2020上海高二课时练习）已知平面上三点，求点D的坐标，使这四个点构成平行四边形的四个顶点.【答案】或或 【解析】解法一：设，当平行四边形为时，即有，解得，即；当平行四边形为时，同理可得；当平行四边形为时，同理可得.综上可得或或 .解法二：当平行四边形为时，对角线与的中点为M.由中点坐标公式，得，再由中点坐标公式，得，即.当平行四边形为时，同理可得；当平行四边形为时，同理可得.综上可得或或 .
