1、2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在极坐标系中，曲线=4cos围成的图形面积为（）AB4C4D162在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）Asin=1Bsin=Ccos=1Dcos=3如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1+z2|=（）A2B3C2D34不等式x2|x|20的解集是（）Ax|2x2Bx|x2或x2Cx|1x1Dx|x1或x15不等式|x|（12x）0的解集是（）AB（，0）CD6
2、不等式3|52x|9的解集为（）A2，1）4，7）B（2，1（4，7C（2，14，7）D（2，14，7）7与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）Ax2+=1Bx2+=1（0x1）Cx2+=1（0y2）Dx2+=1（0x1，0y2）8若复数z=a21+（a+1）i（aR）是纯虚数，则的虚部为（）ABCD9用反证法证明命题：“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）Aa，b都能被3整除Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除Da不能被3整除10如a+ba+b，则a，b必须满足的条件是（）Aab0Bab0CabDa0，b0，且ab11在平面几何中有如下
3、结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）ABCD12将自然数0，1，2，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设平面上的伸缩变换的坐标表达式为，则在这一坐标变换下正弦曲线y=sinx的方程变为 14在极坐标系中，设P是直线l：（cos+sin）=4上任一点，Q是圆C：2=4cos3上任一点，则|PQ|的最小值是 15已知直线l：（t为参数且tR）与曲线C：（是参数且0，2），则直线
4、l与曲线C的交点坐标为 16以下三个命题：若|ab|1，则|a|b|+1；若a，bR，则|a+b|2|a|ab|；若|x|2，|y|3，则，其中正确命题的序号是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程18已知复数z=bi（bR），是实数，i是虚数单位（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围19在
5、直角坐标系xOy中，过点作倾斜角为的直线L与曲线C：x2+y2=1相交于不同的两点M，N（1）若以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，写出C的极坐标方程和直线L的参数方程；（2）求的取值范围20设不等式|2x1|1的解集为M，且aM，bM（1）试比较ab+1与a+b的大小（2）设maxA表示数集A中的最大数，且，求证：h221设函数f（x）=|x1|+|2x1|（）求不等式f（x）2的解集；（）若xR，不等式f（x）a|x|恒成立，求实数a的取值范围22已知 b=a3+，a0，1 证明：（1）b1a+a2（2）b2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（下）第一次月考数学试卷（
6、文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在极坐标系中，曲线=4cos围成的图形面积为（）AB4C4D16【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化【分析】先将原极坐标方程两边同乘以后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解圆的面积即可【解答】解：将原极坐标方程为=4cos，化成：2=4cos，其直角坐标方程为：x2+y2=4x，是一个半径为2的圆，其面积为4故选C2在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）Asin=1Bsin=Ccos=1Dcos=【考点】Q8：点的极坐标和
7、直角坐标的互化；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】求出点P（2，）的直角坐标，可得此点到极轴的距离为1，从而求得所求直线的极坐标方程【解答】解：点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是 y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是 sin=1，故选A3如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1+z2|=（）A2B3C2D3【考点】A8：复数求模【分析】利用复数的几何意义和复数的模的计算公式即可得出【解答】解：由图可知： =（2，1），=（0，1）z1=2i，z2=iz1+z2=2i+i=2|z1+z2|=2故选：A4不等式x
8、2|x|20的解集是（）Ax|2x2Bx|x2或x2Cx|1x1Dx|x1或x1【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集【解答】解：原不等式化为|x|2|x|20因式分解得（|x|2）（|x|+1）0因为|x|+10，所以|x|20即|x|2解得：2x2故选A5不等式|x|（12x）0的解集是（）AB（，0）CD【考点】7E：其他不等式的解法【分析】将不等式等价变形为12x0且x0然后求解集【解答】解：不等式变形为12x0且x0，解得x且x0，所以不等式的
9、解集为（，0）（0，）；故选B6不等式3|52x|9的解集为（）A2，1）4，7）B（2，1（4，7C（2，14，7）D（2，14，7）【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】由原不等式得32x59 ，或92x53 ，分别求出和的解集，取并集即得所求【解答】解：3|52x|9，32x59 ，或92x53 解得 4x7，解得2x1 故不等式的解集为（2，14，7），故选D7与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）Ax2+=1Bx2+=1（0x1）Cx2+=1（0y2）Dx2+=1（0x1，0y2）【考点】QH：参数方程化成普通方程【分析】先由参数方程求出参数t得取值范围，进而求出x、y的取值
10、范围，再通过变形平方即可消去参数t【解答】解：由参数方程为，解得0t1，从而得0x1，0y2；将参数方程中参数消去得x2+=1因此与参数方程为等价的普通方程为故选D8若复数z=a21+（a+1）i（aR）是纯虚数，则的虚部为（）ABCD【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念【分析】由已知中复数z=a21+（a+1）i（aR）是纯虚数，根据其虚部不为0，实部为0，可以构造关于a的方程组，解方程求出a值，进而可得，再由复数除法的运算法则，将复数化为a+bi（a，bR）的形式，即可得到的虚部【解答】解：复数z=a21+（a+1）i（aR）是纯虚数，a21=0，且a+10故a=1则
11、Z=2i=i故的虚部为故选A9用反证法证明命题：“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）Aa，b都能被3整除Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除Da不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B10如a+ba+b，则a，b必须满足的条件是（）Aab0Bab0CabDa0，b0，且ab【考点】7
12、2：不等式比较大小【分析】通过作差、利用根式的意义即可得出【解答】解：a+b（a+b）=（ab）=，又a+ba+b，则a，b必须满足的条件是a，b0，ab故选：D11在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）ABCD【考点】F3：类比推理【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，则AE=，DE=设OA=R，
13、OE=r，则R=，r=正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1故正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于故选C12将自然数0，1，2，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是（）ABCD【考点】F1：归纳推理【分析】这是一个简单的合情推理问题，我们根据已知图形中数的箭头指向，分析其变化的规律，不难求出正确的答案【解答】解：由图中连接数据之间的箭头判断情况我们不难得到：箭头的变化情况以4为周期变化：4n4n+1：向下4n+14n+2：向右4n+24n+3：向上4n+34（n+1）：向右2016为4的倍数，故从2016到2018，箭头的方向依
14、次是向下再向右故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设平面上的伸缩变换的坐标表达式为，则在这一坐标变换下正弦曲线y=sinx的方程变为y=3sin2x【考点】O7：伸缩变换【分析】根据伸缩变换的关系，利用代入法进行化简求解即可求得答案【解答】解：由，得，代入y=sinx得y=sin2x，即y=3sin2x，则正弦曲线y=sinx的方程变换为y=3sin2x，故答案为y=3sin2x14在极坐标系中，设P是直线l：（cos+sin）=4上任一点，Q是圆C：2=4cos3上任一点，则|PQ|的最小值是【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；IR：两点间的距离公式【分析】把直线和圆的
15、极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，将此距离减去半径即为所求【解答】解：直线l：（cos+sin）=4 即 x+y4=0，圆C：2=4cos3 即 x2+y2=4x3，即 （x2）2+y2=1，表示圆心为（2，0），半径等于1的圆圆心到直线的距离等于=，故|PQ|的最小值是1，故答案为115已知直线l：（t为参数且tR）与曲线C：（是参数且0，2），则直线l与曲线C的交点坐标为（1，3）【考点】QH：参数方程化成普通方程【分析】把直线l的参数方程化为普通方程，曲线C的参数方程化为普通方程，两方程联立，即可求出直线l与曲线C的交点坐标【解答】解：直线l：（t为参数且tR），化为普通
16、方程是：2x+y5=0；曲线C：（是参数且0，2），化为普通方程是：y=2x2+1（其中1x1）；由，解得x=1，y=3；直线l与曲线C的交点坐标为（1，3）故答案为：（1，3）16以下三个命题：若|ab|1，则|a|b|+1；若a，bR，则|a+b|2|a|ab|；若|x|2，|y|3，则，其中正确命题的序号是【考点】R4：绝对值三角不等式；2K：命题的真假判断与应用；71：不等关系与不等式【分析】利用绝对值三角不等式判断的正误；绝对值不等式判断的正误；不等式的性质判断的正误；【解答】解：因为|ab|1，所以|a|b|1，则|a|b|+1，所以正确；若a，bR，则|a+b|2|a|ab|；所
17、以|a+b|2|a|a+b2a|=|ab|；所以正确；若|x|2，|y|3，所以，正确；正确命题的序号：故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x
18、，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得（2）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可【解答】解：（）由从而C的直角坐标方程为即=0时，=2，所以M（2，0）（）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，（，+）18已知复数z=bi（bR），是实数，i是虚数单位（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A2：复数的基本概念【分析】（1）由z=bi（bR），化简为根据是实数，可得，求得 b的
19、值，可得z的值（2）化简 （m+z）2为 （m24）4mi，根据复数f（4）所表示的点在第一象限，可得，解不等式组求得实数m的取值范围【解答】解：（1）z=bi（bR），=又是实数，b=2，即z=2i（2）z=2i，mR，（m+z）2=（m2i）2=m24mi+4i2=（m24）4mi，又复数f（4）所表示的点在第一象限，解得m2，即m（，2）时，复数f（4）所表示的点在第一象限19在直角坐标系xOy中，过点作倾斜角为的直线L与曲线C：x2+y2=1相交于不同的两点M，N（1）若以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，写出C的极坐标方程和直线L的参数方程；（2）求的取值范围【考点】Q4
20、：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）由曲线C：x2+y2=1，可得极坐标方程：2=1由题意可得直线L的参数方程：（t为参数）（2）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程可得：t2t+2=0，由0，可得于是=+=，把根与系数的关系代入即可得出【解答】解：（1）由曲线C：x2+y2=1，可得极坐标方程：2=1，即=1直线L的参数方程：（t为参数）（2）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程可得：t2t+2=0，由0，可得t1t2=2=+=20设不等式|2x1|1的解集为M，且aM，bM（1）试比较ab+1与a+b的大小（2）设maxA表示数集A中的最大数，且，求证：
21、h2【考点】R6：不等式的证明；3H：函数的最值及其几何意义【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解可得M，然后利用作差法证明不等式即可（2）判断三个数都是正数，然后求解3个数的乘积，推出h的范围，即可得到结果【解答】解 （1）不等式|2x1|1，可得12x11，即0x1，所以不等式的解集为：M=x|0x1，a，bM，ab+1ab=（a1）（b1）0，ab+1a+b.（2）设maxA表示数集A中的最大数，且，3个数都是正数，由（1）ab+1a+b，h2.，（0a1，0b1，等号取不到）h221设函数f（x）=|x1|+|2x1|（）求不等式f（x）2的解集；（）若xR，不等式f（x）a|x|恒
22、成立，求实数a的取值范围【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法【分析】（）分类讨论，利用绝对值的几何意义求不等式f（x）2的解集；（）若xR，不等式f（x）a|x|恒成立，分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）不等式f（x）2可化为|x1|+|2x1|2，x，不等式化为1x+12x2，x0，x0；，不等式化为1x+2x12，x2，不成立；x1，不等式化为x1+2x12，x，x；综上所述，不等式f（x）2的解集为x|x0或（2）当x=0时，f（x）=2，a|x|=0，原式恒成立；当x0时，原式等价转换为恒成立，即，当且仅当即时取等，a122已知 b=a3+，a0，1 证明：（1）b1a+a2（2）b【考点】R6：不等式的证明【分析】（1）利用作差法，即可证明结论；（2）利用配方法，即可证明结论【解答】证明：（1）因为1a+a2a3=，由于0a1，有，即1a+a2a3，所以b1a+a2.（2）由0a1得a3a，故b=a3+a+=a+=，所以b，由（1）得b1a+a2=，又因为当时，b=，所以b，综上，b.2017年6月12日
