1、函数的应用（一）教学设计一、教材的地位和作用本节课是高一新教材第二章第三节函数的应用（一），前两章已经学会了一些有关初等函数的知识，本节函数的应用要引导学生对现实问题进行数学抽象，体现用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。函数贯穿于整个高中数学学习的始终，是高中数学的重要思想和支撑高中数学的主干知识。2017 年普通高中课程标准提出学生通过高中数学课程的学习，能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用。二、课型：新授课三、学情分析学生已经学习了函数的
2、概念、图像和性质，他们对函数有了初步的了解和认识。同时学生对一次函数、二次函数、反比例函数、取整函数等初等函数的研究有了直接的经验。四、教学目标知识目标：会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式，并能确定函数的定义域；能力目标：经历从现实问题中确定变量、探寻关系、建立模型计算系数、分析结论的全过程，形成和发展数学建模素养。情感目标：体验用数学的眼光看世界的过程，初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物。五、教学重难点教学重点：将实际问题转变成数学问题，结合数学模型分析案例；教学难点：分析数据预测规律，用数学的语言表达案例；六、数学核心素养数学抽象、数学建模、数据分析；七、教法分析本节课
3、采用问题驱动式的教学方法。在教学过程中的设问、点拨、启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究、相互交流来达到对新知识的发现和接受。八、教学过程根据新课标的理念以及数学核心素养的要求，我把整个的教学过程分为五个阶段，即：1. 情景设置，提出问题；2. 学生建模，阐述方案；3. 师生讨论，比较方案；4. 自主探究，归纳性质；5. 巩固落实，灵活运用。教学过程设计说明教学时间分配一、课堂导入通过多媒体播放视频，视频 1：马云创立数学建模大赛展示生活中的新闻人物视频 2：马云自己对数学重要性的认识对数学的观点和做法，使学生认识到数学的重引例：周末，我与朋友前往必胜客餐厅就餐，结要性，认识的数
4、学与我账时，店家推出两种优惠政策：们的日常生活息息相（1）可以登录美团，团购“85 元抵值 100 元”该关。餐厅的抵值券，结账；（2）可以现场结单，享受全款九折优惠通过问题引入，引但团购用户不可同时享受商家其他优惠（不考虑凑单发学生的思考，利用所情况）学函数的思想，建立数请同学们探究一下哪种结账方式更省钱？学模型，激发学生的学学生活动：用投影仪展示自己作图成果习欲望。能够运用数学建模的一般方法和相关知识，创造性的建立数学模型，解决问题。1. x，y 是什么含义？2. 取整函数图像怎么画？3. 如何通过图像比较引例哪种方式更优惠？15min讨论讨论1.能够运用数学语言清5min晰、准确地表达数
5、学建模的过程和结果，解决现实生活中的问题；2.会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式，并能确定函数的定义域；3.能够在熟悉的情景中，发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用。4.从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并对数学语言予以表征。5.养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁。探究一：一次演唱会的盈利额 P 百元与票数 n（n为非负整数）张之间的关系满足下图所示的函数关系（其中保险部门规定：人数超过 150 的时候，须缴纳公安、保险费 50 百元）。请写出它的函数表示式；并对其图像加以解释。师生活动：教师：投影例题，先让学生分组讨论。学生
6、：分组讨论。教师：让一名学生黑板展示讨论结果教师加以点播，评价，引导同学们从不同角度分析图像：可以得到不同的解释。（1）当售票数为0时，舞场正常开放，要支付水电费，器材等场地费 20000 元（2）当售票数n=100时，可达到不赔不赚，n 100 时，要赔本；（3）当100n150，利润随售票数的增加呈直线上升， n =150时，达到最大值10000元；（4）当150n167，利润没有n=150时多（5）当人数达到200人时，利润可达到最大值20000 元1.能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题；理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；能够根据问题实际意义检验结果，
7、完善模型，解决问题，形成和发展数学建模素养；2.在交流的过程中，能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象；3.体验用数学的眼光看世界的过程，初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物。4.通过探究一的学习，培养学生能提升获取有价值信息并进行定量分析意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实世界的意识，形成通过数据认识事物的思维品质；合作探究10min探究二某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用引导学生用两种方法比设备和制作模具花去了 200 000 元，生产每件工艺品较利润与产量关系：的直接成本为 300 元，每件工艺品的售价为 500 元，比较下面两个函数图产量 x
8、对总成本C、单位成本 P、销售收入 R以及利像的位置关系：润 L 之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际总成本 C 与产量 x 的关含义？系 C=200000+300x；单位成本 P 与产量 x的关系P=20000/x+300通过函数利润 L 与产量 x 的关系：L=R-C=200x-200000 得合作探究出结论5min类比 18 年高考开放性试题 18 题的标准解法，分别从图像分析和函数本身性质出发得到结论。本题的设计也是为同学看问题从几何和代数两个角度看问题，并在交流的过程中，能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象。探究三科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科1. 通过
9、一些数据寻求学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，事物规律，往往是通过经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下绘出这些数据在直角坐表）：标系中的点，观察这些温度.-4-20244.5.点的整体特征，看他们x/ C接近我们熟悉的哪一种植物每.414949412519.75.函数图像，能够选择合天高度适的数学模型表达所要合作探究增长量解决的数学问题；5miny/mm2. 选定函数形式后，将由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是一些数据带入这个函数x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二的一般表达式，再做必次函数中的一种。要的检验，基本符合实（1）请你选择一种适当的
10、函数，求出它的函数关系际，就可以确定这个函式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；数基本反映了事物规（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最律，这种方法称为数据大？拟合，在自然和社会科（3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植学中，很多规律定律都物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温是先通过实验，得到数度 x 应该在哪个范围内选择？据，再通过数据拟合得到。通过改进模型，最终解决实际问题。3. 培养学生针对研究对象获得数据，运用数学的方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。课后作业草莓的种植与销售的地域有关，也受当地消费与供给关系的制约，因此面对草莓
11、种植与销售问题，需要对需求量和供给量的市场进行调查，收集数据，寻找市场供求关系的平衡点，然后制定科学的种植方案，带领学生进入本地市场调查，收集数据.对草莓巩固本节课所学方法，的市场需求量和供给量进行调查，得到以下数据：让学生能够在综合的情草莓市场需求量信息表景中,运用数学思维进行每公斤价格 P（元）2024262834分析，发现情景中的数需求量 Q 吨4038.536.53631.学关系，提出数学问题。草莓市场供给量信息表学会用函数的观点看世每公斤价格 P（元）2028324046界，学会用数学的语言供给量 Q 吨29343640.543表述问题。根据这些信息，你能为当地草莓种植户提出怎样的建
12、议？请用数学观点分析这个案例？分析：以供给（需求）量 Q 为横轴，价格 P 为纵轴，由已知数据在 QP 坐标系内描点，然后寻找近似的供给线和需求线，取较远的两点建立方程，求市场的供需平衡点（即需求量和供给量相等的情形）.课堂小结板书设计3.3 函数的应用（一）方式一：解：设 x 为未优惠前的原价，y 为优惠下来的钱（元）1. 当 x=150,两种方式优惠一样2. 150x=200 团购更省4. 0x150 现金方式更优惠方式二：解：设 x 为原价，y 是实际应付的钱数教学反思本节课从生活中的实例出发，设计了关于函数的应用这节课。这节课设计参考了新课标的课程理念，数学学科的六大核心素养：数学抽象
13、、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。而函数的应用体现了数学建模的思想。另外，2018 年高考 18 题，利用统计知识的应用题，命题人出了用数学的语言描述那个模型好这样一个开放性试题，很多学生不知如何去表述。所以，通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联就很有必要。用马云的数学执念，让学生认识到学习数学的必要性和趣味性，明白学习数学的意义所在。有一个好的数学思维对今后步入社会都是很有必要的。从引例出发，让学生探究餐厅消费哪种支付方式最省钱？这就是学生身边的例子，从事物的具体背景中抽象出一般的规律和结构，并用数学的语言予以表征，符合学生的认知规律。从音乐会门票票价问题，再到草莓种植户生产问题，无不关系到我们日常生产生活。数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。引导学生用数学的语言表述世界，用函数的思想分析问题。
