1、宁夏银川市第二中学2021届高三数学上学期统练试题二 文（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在中，“”是“”（ ）A. 充分而不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】记角，所对应的边分别为，根据三角形性质，由正弦定理，以及充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】记角，所对应的边分别为，因为三角形中，大边对大角，若，则，由正弦定理可得；即由“”能推出“”；若，由正弦定理可得，所以；即由“”能推出“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：B.
2、【点睛】本题主要考查判定命题的充要条件，考查正弦定理的应用，属于基础题型.2. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A，求出，即可得结果.【详解】，集合的子集个数为8个，故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集的运算以及子集的个数，属于基础题.3. 已知向量，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，再根据即可求出.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查向量夹角的求法，属于基础题.4. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为
3、这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.5
4、. 在等差数列中，则该数列前项的和是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为，故选B考点：等差数列的性质6. 如图，在中，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则运算即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.7. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差（2）已知角为一个时
5、，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系8. 若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】试题分析：偶函数定义域关于原点对称，所以，函数开口向上.由于函数为偶函数，故，所以，最大值为.考点：二次函数最值.9. 已知在中，分别为角的对边，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由余弦定理考点：余弦定理，三角形的面积10. 定义在上的奇函数满足，且当时，则 （ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由，分析可得，即可得函数的周期为4，则有，由函数的解析式以及奇偶性可得的值，即可
6、得答案【详解】解：根据题意，函数满足，即，则函数的周期为4，所以又由函数为奇函数，则，又由当，时，则；则有；故选：【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用，注意分析得到函数的周期，属于中档题11. 在锐角中，的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析: 在锐角中，且，故由正弦定理可得，故选D考点：1、正弦定理；2、三角函数的性质；3、二倍角公式【思路点睛】由条件可得 ，且，故，由正弦定理可得 ，从而得到 的取值范围求得是解本题的关键本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，三角函数的性质，二倍角公式的应用，考查学生的转化与化归思想和计算能力，属于中档题12. 已知函数
7、，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角恒等变换化简函数，再由图象的平移得到函数的解析式，利用函数的值域，可知的值为函数的最小正周期的整数倍，从而得出选项.【详解】函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，所以函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中是三角函数最高点的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平
8、移，以及函数的值域和周期，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则的值为_【答案】【解析】分析：利用导数的几何意义求出，再利用切点在切线上求出详解：由题意，得，则点睛：1.解决本题时，要注意切点既在曲线上，又在切线上，学生往往忽视“点在切线上”；2.利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点处的切线”和 “曲线过某点的切线”的不同14. 已知，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，由向量的坐标表示，列出方程，求出，即可得出结果.【详解】因为，若，则，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由向量坐标表示
9、求参数，属于基础题型.15. 函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先将函数化简得，再根据二次函数性质即可得答案.详解】解：，因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的值域求解，解题的关键在于化简成二次型的问题，再配方求解，是基础题.16. 为等差数列的前n项和，且，记，其中表示不超过x的最大整数，如，则数列的前100项和为_【答案】92【解析】【分析】设的公差为d，由，解得，则，然后由，分， 和 三种情况求解.【详解】设的公差为d，所以，解得，记的前n项和为，则，当时，当时，当，即时，故答案为：92【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用，还考查了运算求解
10、的能力，属于中档题.三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 记为等差数列的前项和，已知， （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值
11、，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18. 如图，已知为坐标原点，向量，.（1）求证：； （2）若，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先求向量的坐标，利用证明；（2）先求，的坐标，利用，转化为三角方程求值，再利用同角三角函数求求值.【详解】（1）证明：，（2），即，解得或（舍），【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.19. “伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：），游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰
12、伦敦建筑，伦敦眼与建筑之间的距离为12（单位：），游客在乘坐舱P看建筑的视角为.（1）当游客在乘坐舱P与伦敦眼M在同一水平面看建筑的视角为时，拍摄效果最好.若此时测得建筑物的高度为（单位），求视线的长度.（2）当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角，求建筑的高度；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，易知点应在轴线的右侧与等高的位置，连接，则，过点作于点，求出，在中，根据正弦定理，即可求出结果；（2）连接，根据题中条件，求出，在中，根据正弦定理，即可求出结果.【详解】（1）根据题意，易知点应在轴线的右侧与等高的位置，连接，则，过点作于点，则，因为，所以为中点，则，因此等腰直角三
13、角形，则，又，所以，因为，所以，在中，由正弦定理可得，则（单位），即视线的长度为；（2）连接，因为，所以，又，所以，因为，所以，在中，由正弦定理可得，则（单位），即建筑的高度为.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于常考题型.20. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）点D在的延长线上，且A为的中点，线段长度为2，求的最大值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即，由余弦定理可得即可求出；（2）在中，根据余弦定理可得，再利用基本不等式放缩，可得，即可求出的最大值【详解】（1），由正弦定理得， ，即，. （2）在中，由
14、余弦定理知：， ， ，即，当且仅当， 即，时取等号，此时的最大值为4.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，以及利用基本不等式求解三角形中和边长有关的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题21. 已知函数（1）判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为2，求的值【答案】（1）当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；（2）.【解析】【分析】（1）先确定的定义域为，再求导，由“，为增函数，在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论（2）因为，由（1）可知当时，在上为增函数，当时，即时，在上也是增函数，当时，即时，在，上是减函数，在，上是增函数
15、，当时，即时，在，上是减函数，最后取并集【详解】解：（1）由题意得的定义域为，当时，故在上为增函数；当时，由得；由得；由得；在上为减函数；在上为增函数所以，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数（2），由（1）可知：当时，在上为增函数，得，矛盾!当时，即时，在上也是增函数，（舍去）当时，即时，在上是减函数，在上是增函数，得（舍去）当时，即时，在上是减函数，有，综上可知：【点睛】本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题选考题：共10分.请考生在第22
16、，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，求的斜率【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）利用，化简即可求解；（）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.（）在（）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设，所对应的极径分别为，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.于是，.由得，.所以的斜率为或.选修4-5：不等式选讲23. 已知a，b，c为正实数，且满足.证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题中条件，化，再由绝对值三角不等式，即可证明结论成立；（2）根据柯西不等式，由题中条件，可直接得出结论成立.【详解】（1）因为a，b，c为正实数，且满足，所以，由绝对值三角不等式可得，当且仅当，即时，等号成立；（2）因为a，b，c为正实数，且满足，由三元基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.【点睛】本题主要考查不等式的证明，熟记绝对值三角不等式，以及基本不等式即可，属于常考题型.- 18 -
