1、数学（理）试题一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 复数z1i，为z的共轭复数，则 ()A2i Bi Ci D2i2. 已知是两个不同的平面，是不同的直线，下列命题不正确的是( )A若则 B若则90110周长(cm) 频率/组距1001201300.010.020.0480图 1C若则 D若，则3. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ ） A30 B60 C70 D804某
2、班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）.图 2A.14 B.24 C.28 D.485. 某程序框图如图 2所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的 ( )A32 B24 C18 D166. 抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，又点则的最小值是（ ）A B C DOyxPBA图 37. 设，点为所表示的平面区域内任意一点，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为（ ）A B C D8. 将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图 3），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： 的值域
3、为；是周期函数；.其中正确的说法个数为：（）A0 B C D 二填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.9. 已知向量，若，则实数的值等于 OxyABC图 410. 不等式的解集为 11. 设为等比数列的前n项和，则 .图 512. 函数的部分图象如图 4所示，点,，若，则等于 13. 如图 5，圆O：内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得
4、分.图 614.（极坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为 15.（几何证明选讲）如图 6，O中，直径AB和弦DE互相垂直，C 是DE延长线上一点，连结BC与圆O交于F，若,，则_三解答题：本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本题满分12分）已知函数且函数的最小正周期为 (1)求的最大值及取得最大值的值； (2)若且，求的值17.（本题满分12分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且(1) 求文娱队的人数； (2) 写出的概率分布列并计算18.（
5、本题满分14分）等边三角形的边长为,点、分别是边、上的点,且满足(如图7甲).将沿折起到的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图7乙).(1)求证:平面；（2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.19.（本题满分14分）已知数列满足，（1）求的值；（2）求证：数列是等比数列；（3）设，数列的前项和为求证：对任意的，20.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1上的任一点到点（1，0）的距离与到直线的距离之比为，动点Q是动圆C2：上一点（1）求曲线C1的轨迹方程；（2）若点P为曲线C1上的点，直线PQ与曲线C1和动圆C2均只有一个
6、公共点，求P、Q两点的距离PQ的最大值21（本题满分14分）已知函数，.（1）若函数在处取到极值,且成等差数列，求的值；（2）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数 的最大值20132014学年度高三理科数学测试题参考答案且9分，11分由、解得12分17. (1)解法1：， 2分即， ， x=25分 故文娱队共有5人 6分 解法2：因为会唱歌的有2人，故两项都会的可能1人或2人。1分若有1人两项都会，则文娱队有6人，可得2分因为，故与矛盾.4分若有2人两项都会，则文娱队有5人，此时满足条件.5分故文娱队有5人.6分(2)， .8分的概率分布列为 012P10分12分18. 证明:(1
7、)因为等边的边长为3,且,所以,.1分 在中,由余弦定理得.3分 因为,所以.折叠后有. 4分因为二面角是直二面角,所以平面平面. 又平面平面,平面,所以平面. 7分BCEDHP图 7(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为.8分如图 7,作于点,连结、. 9分 由(1)有平面,而平面,所以.10分又,所以平面. 所以是直线与平面所成的角. 11分 设,则,.在中,所以. 在中,. 由,得.解得,满足,符合题意. 13分 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.14分解法2:由(1)的证明,可知,平面. BCEDHxyzP图 8以为坐标原点,以射线、分别为轴、轴、轴的
8、正半轴,建立空间直角坐标系如图 88分设,则,. 所以,.所以.9分因为平面,所以平面的一个法向量为.因为直线与平面所成的角为,所以 , 解得.12分即,满足,符合题意.13分 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.14分19. 解：（1）由和解得 2分（2）,4分.又，6分故是以3为首项，公比为-2的等比数列.7分（3）由（2）得.8分所以，10分.12分所以.14分20. 解：（1）设，依题意得化简方程得.3分（2）依题意可知直线PQ显然有斜率，设其方程为设、，4分由于直线PQ与曲线C1相切，点P为切点，从而有得，故6分从而可得，8分又直线PQ与圆C2相切，则9分由（1）、（2）得，10分并且即，当且仅当时取等号，13分故P、Q两点的距离PQ的最大值14分21. .解：（1）2分4分由（1）和（4）解得，再由（2）（4）得7分（2）不等式 ，即，即。转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立。8分即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。9分设，则.设，则，因为，有。故在区间上是减函数.10分又.故存在，使得.当时，有，当时，有.从而在区间上递增，在区间上递减.11分又12分所以当时，恒有；当时，恒有；13分故使命题成立的正整数的最大值为5. 14分
