1、第十一节 函数与方程基础梳理1.函数零点的定义(1)把使函数y=f(x)的值为_的实数x称为函数y=f(x)的零点(2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的_，从图象上看，函数y=f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的_2.函数零点的判定若函数y=f(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且_，则函数y=f(x)在区间_上有零点，即存在x0(a，b)，使得f(x0)=0，这个x0也就是f(x)=0的根，我们不妨把这一结论称为零点存在性定理横坐标0解(a，b)f(a)f(b)0)的两实数根，根的分布与对应的y=ax2+bx+c图象以及其等价不等式组的关系如下表所示.根的分布图象充要
2、条件x1x2mmx1x2x1mx2002f mbma 002f mbma f(m)0 x1，x2(m1，m2)x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内_21120002f mf mbmma f(m1)f(m2)0，16-42a0，a2.(-，2)3.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些连续整数之间没有根_(填序号)-2与-1之间；-1与0之间；0与1之间；1与2之间解析：设f(x)=x3+x2-2x-1，f(-2)f(-1)0，f(-1)f(0)0，f(1)f(2)0，f(x)在(-2，-1)，(-1,0)，(1,2)内均有根故只有符合题意4.已知函数则函数f(x)的零点个数为_5.已知
3、方程x2+(a-1)x+(a-2)=0的根一个比1大，另一个比1小，则a的取值范围是_3解析：(1)由；(2)由x=0或x=4.所以函数f(x)的零点个数为3.040 xxf x 00 xf x 解析：函数f(x)=x2+(a-1)x+(a-2)的大致图象如图所示，于是有f(1)0，即1+(a-1)+(a-2)0，解得a1.(-，1)经典例题题型一 求函数的零点【例1】求下列函数的零点(1)f(x)=4x-3；(2)f(x)=-x2+2x+3；(3)f(x)=x-+2.3x分析：根据函数零点与方程根之间的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根解：(1)由4x-3=0，得x=，即f(x)=4
4、x-3的零点是3434(2)由-x2+2x+3=0，得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，即f(x)=-x2+2x+3的零点为-1,3.(3)由，得x1=1，x2=-3，即函数的两个零点分别为1，-3.23231320 xxxxxxxx 3()2f xxx变式1-1 求下列函数的零点(1)f(x)=x3-1；(2)221()1xxf xx解析：(1)由x3-1=0，得x=1，所以f(x)=x3-1的零点是1.(2)由 ，得x1,2=-1，所以 的零点是-1，这是一个二重零点22211011xxxxx 221()1xxf xx题型二 函数零点的存在性判断【例2】判断下列函数在给定的区间
5、内是否存在零点(1)f(x)=x2-3x-18，x1,8；(2)f(x)=log2(x+2)-x，x1,3分析：利用函数零点的存在性定理或图象进行判断解：(1)方法一：f(1)=12-31-18=-200，f(1)f(8)log22-1=0，f(3)=log25-3log28-3=0，f(1)f(3)0，故f(x)=log2(x+2)-x，x1,3存在零点方法二：设y=log2(x+2)，y=x在同一直角坐标系中画出它们的图象(如图)，由图象可以看出当1x3时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x，x1,3存在零点变式2-1 若方程ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，求
6、a的取值范围解析：由题意，设f(x)=ax2-x-1，则f(x)在(0,1)内恰有一个零点，画图易知有f(0)f(1)0，即-1(a-2)2.题型三 函数与方程思想的综合应用【例3】对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a0)(1)当a=1，b=-2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围分析：函数的不动点，即方程f(x)=x的根，函数有两个相异 的不动点，即方程f(x)=x有两个不相等的实根 解：(1)f(x)=x2-x-3.因为x0为f(
7、x)的不动点，因此有f(x0)=x02-x0-3=x0，解得x0=-1或x0=3，所以3和-1为f(x)的不动点(2)因为f(x)恒有两个不动点，f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x，即方程ax2+bx+(b-1)=0有两个不等实根由题设知b2-4a(b-1)0，对任意bR恒成立，(-4a)2-4(4a)0，即a2-a0，0a0)(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根2ex解析：(1)方法一：由，等号成立的条件是x=e，故g(x)的值域是2e，+)因而只需m2e，则g(x)=m就有零点22()22eg xxeex
8、方法二：作出(x0)的图象如图可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e.2()eg xxx方法三：解方程g(x)=m，得x2-mx+e2=0(x0)此方程有大于零的根，故等价于所以m2e.220240mme 022mmeme 或(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点作出(x0)的图象如图f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+e2，故当m-1+e22e，即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根m的取值范围是m-e2+2e+1.2()eg xxx链接高考(2010上海改编)若x0是方程lg x+x=2的解，则x0属于区间_(0,1)；(1,1.25)；(1.25,1.75)；(1.75,2)知识准备：1.理解函数零点的存在性定理；2.会进行指数与对数的转换解析：原方程可化为：x=102-x，设函数f(x)=102-x-x，则f(0)=102-00，f(1)=10-10故x0(0,1)，同理可知f(1.75)f(2)0，故x0(1.75,2)，填.