1、目标导航1理解分析法的意义，掌握分析法的特点.2.会用分析法解决问题.3.会综合运用分析法、综合法解决数学问题1 新知识预习探究 知识点 分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：2 新视点名师博客1.分析法的特点(1)分析法是数学中常用的一种直接证明方法它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法，简单地说，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”(2)由于分析
2、法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述(3)用分析法证题一定要注意书写格式，并保证步步可逆其证明过程为要证，只需证，只需证，由于显然成立(已知，已证)，所以原结论成立2综合法、分析法的区别综合法分析法推理方向顺推，由因导果倒溯，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考表述形式形式简洁，条理清晰叙述繁琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.3 新课堂互动探究考点一
3、利用分析法证明不等式问题 例 1已知 a，b，cR，求证：a2b2c23abc3.证明：要证a2b2c23abc3，只需证：a2b2c23abc32，只需证：3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，只需证：2(a2b2c2)2ab2bc2ac，只需证：(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以a2b2c23abc3成立点评：分析法证明不等式的方法与技巧变式探究 1 求证：对于任意的正实数 a，b，c31a1b1cabc3(当且仅当 abc 时取等号)证明：对于任意正实数 a，b，c，要证31a1b1cabc3成立，只需证 9(abc)1a1b1c，即证 93abacba
4、bccacb，即证 6abba acca bccb(*)因为对于任意正实数 a，b，c，有abba2abba2，同理acca2，bccb2，所以不等式(*)成立，且要使(*)的等号成立必须baab且caac且bccb，即当 abc 时等号成立.考点二 利用分析法证明立体几何问题例 2 如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M，N 分别是AB，PC 的中点求证：MNCD.证明：取 PD 的中点为 E，连结 NE，AE.因为 AMNE12AB，且 AMNE，所以四边形 AENM 为平行四边形，所以 MNAE.要证 MNCD，只需证 AECD，只需证 CD平面 PAD，又因为 PA平面 AB
5、CD，所以 PACD，又因为 CDAD，PAADA，所以 CD平面 PAD，故 MNCD.点评：分析法证明立体几何问题的三个关注点(1)主要依据：立体几何中直线、平面的位置关系、定义、判定定理、性质定理以及一些推论(2)立体几何中某些结论成立的充分条件很多，要结合题目背景加以认真分析(3)分析法证明的模式(若 p 则 q 形式)是：要证明 q 命题为真，只需证命题 p1 为真，从而有只需证命题 p2 为真，从而有只需证命题 p 为真，而已知 p 为真，故 q 必为真变式探究 2 如图，P 是ABC 所在平面外的一点，并且 PA，PB，PC 两两垂直PH平面 ABC 于 H.求证 H 是ABC
6、的垂心证明：连接 AH，BH.要证 H 是ABC 的垂心，只需证 ACHB 且 BCAH，只需证 BC平面 PHA，AC平面 PHB，只需证 BCAP 且 BCPH，ACPB 且 ACPH，只需证 AP平面 PBC，PB平面 PAC，也就是要证 APPB，APPC，PBPA，PBPC.由条件知 PA，PB，PC 两两垂直，上式显然成立，所以结论成立，即 H 是ABC 的垂心.考点三 综合法与分析法的综合应用例 3 已知 a，b，c 是不全相等的正数，且 0 x1.求证：logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc.证明：要证明logxab2 logxbc2 l
7、ogxac2 logaxlogxblogxc，只需要证明 logxab2 bc2 ac2logx(abc)，由已知 0 x1，只需证明ab2 bc2 ac2 abc.由公式ab2 ab0，bc2 bc0，ac2 ac0.又a，b，c 是不全相等的正数，ab2 bc2 ac2s a2b2c2abc.即ab2 bc2 ac2 abc 成立logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc 成立点评：实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击
8、，找到沟通已知条件和结论的途径变式探究 3 已知 a，b，c 表示ABC 的三边长，m0，求证：aambbmccm.证明：要证明aambbmccm，只需证明aambbmccm0 即可，所以aambbmccmabmcmbamcmcambmambmcm.因为 a0，b0，c0，m0，所以(am)(bm)(cm)0.因为 a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2.因为ABC 中任意两边之和大于第三边，所以 abc0，所以(abc)m20，所以 2abmab
9、c(abc)m20，所以aambbmccm.4 新思维随堂自测1.欲证 2 3 6 7，只需证明()A(2 3)2(6 7)2B(2 6)2(3 7)2C(2 7)2(6 3)2D(2 3 6)2(7)2解析：由分析法知欲证 2 3 6 7，只需证 2 7 3 6，即证(2 7)2(3 6)2.答案：C2要证明 a a7 a3 a4(a0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A综合法 B类比法C分析法 D归纳法解析：直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理答案：C3函数 f(x)axb 在(，)上是减函数，则 a 的取值范围是_解析：要使 f(x)axb 在 R 上是减函数，只需 f(x)0 在 R 上恒成立因为 f(x)a，所以 a0.又因为 a0 时 f(x)b 为常函数，故 a0.答案：(，0)4若 x1,2，x2a0 恒成立，则 a 的取值范围是_解析：要使 x2a0 在 x1,2上恒成立，只需 ax2 在1,2上恒成立令 f(x)x2，x1,2，所以4f(x)1，故 a1.答案：1，)5当 a2 时，求证 a1 a a1 a2.证明：要证a1 a a1 a2，只需证a1 a2 a a1，只需证(a1 a2)2(a a1)2，只需证a1a2 aa1，只需证(a1)(a2)a(a1)，只需证20，而20 显然成立，所以 a1 a a1 a2成立.
