1、2.3.4平面向量共线的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)2.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定(易混点)通过平面向量共线的坐标表示及应用，培养学生的逻辑推理和数学运算素养.平面向量共线的坐标表示(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b(b0)共线思考：两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标条件能表示成吗？提示不一定，x2，
2、y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y20时，才能使用1已知A(2，1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()A(2,1)B(6，3)C(1,2)D(4，8)D(1,2)，根据平行条件知选D.2下列各对向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(3，2)Ba(2,3)，b(4，6)Ca(，1)，b(1，)Da(1，)，b(，2)DA，B，C中各对向量都不共线，D中ba，两个向量共线3已知a(3,2)，b(6，y)，且ab，则y_.4ab，解得y4.4若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则y_.9(8,8)，(3，y6)，A，B，C三点共线，即，8(y6)830，解得
3、y9.向量共线的判定与证明【例1】(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)(2)已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断(2)(1)DA中，26340，B中33220，C中114(2)70，D中(3)(4)260.故选D.(2)解(1(1)，3(1)(2,4)，(21,75)(1,2)又22410，.又(2,6)，(2,4)，24260，A，B，C不共线，AB与CD不重合，ABCD.向量
4、共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减1已知A(1，3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线证明，(91,13)(8,4)，7480，且，有公共点A，A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数【例2】已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b与非零向量a共线等价于ba(0，b与a同向；0，b与a反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用ba判定同向还是反向解法一：(共线向量定理法)k
5、abk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，因为0，所以kab与a3b反向法二：(坐标法)由题知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.这时kab(a3b)，所以当k时，kab与a3b平行，并且反向利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10直
6、接求解2已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)，若c(2ab)，则_.由题可得2ab(4,2)，c(2ab)，c(1，)，420，即.故答案为.向量共线的综合应用【例3】(1)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)，且ab，则2sin cos 等于()A3B3C D.(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标思路点拨：(1)先由ab推出sin 与cos 的关系，求tan ，再用“1”的代换求2sin cos .(2)要求点P的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到，利用与共线的坐标表示求出即可；也可设P(x，y)，由及，列出关于x
7、，y的方程组求解(1)C因为ab，所以cos 1(2)sin 0，即cos 2sin ，tan ，所以2sin cos .(2)解法一：(定理法)由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)，(2,6)由与共线得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)法二：(坐标法)设P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，则得(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3,3)应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，AD与BC相
8、交于点M，求点M的坐标解因为(0,5)，所以C.因为(4,3)，所以D.设M(x，y)，则(x，y5)，.因为，所以x2(y5)0，即7x4y20.又，因为，所以x40，即7x16y20.联立解得x，y2，故点M的坐标为.共线向量与线段分点点坐标的计算探究问题1设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？提示：如图所示，P为P1P2的中点，()，线段P1P2的中点坐标是.2设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？提示：点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：当时，()；当时，
9、().3当时，点P的坐标是什么？提示：()，(x1，y1)(x2，y2)，P.【例4】已知点A(3，4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|2|，求点P的坐标思路点拨：点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论解设P点坐标为(x，y)，|2|.当P在线段AB上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P点坐标为.当P在线段AB延长线上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P点坐标为(5,8)综上所述，点P的坐标为或(5,8)1若将本例条件“|2|”改为“3”其他条件不变，求点P的坐标解因为3，所以(x3，y4)3(1x,2y)，所以解得所以点P的坐
10、标为.2若将本例条件改为“经过点P(2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|3|”，求点A，B的坐标解由题设知，A，B，P三点共线，且|3|，设A(x,0)，B(0，y)，点P在A，B之间，则有3，(x，y)3(2x,3)，解得x3，y9，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,9)点P不在A，B之间，则有3，同理，可求得点A，B的坐标分别为，(0，9)综上，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,9)或，(0，9)求点的坐标时注意的问题(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若点P是P1P2的中点时，则P(x，y)为(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记
11、忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论.(3)若01时，P在线段P1P2上；1时，P与P2重合；1时，点P在线段P1P2延长线上；,0时，点P在线段P1P2反向延长线上.1两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当b0时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例2向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同(2)已知两个向量共线，求点
12、或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据1下列说法不正确的是()A若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a与b共线，则.B若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y1，则a与b不共线C若A，B，C三点共线，则向量，都是共线向量D若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则y9.AA中，x2或y2为零时，比例式无意义，B、C很明显都正确；D中，由(8,8)，(11，y2)，则8(y2)8110，解得y9.D正确2已知两点A(2，1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a可以是()A(1，2)B(9
13、,3)C(2,4) D(4，8)D由题意，得(1,2)，所以a(，2)(其中0)符合条件的只有D项，故选D.3已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于_(4，8)ab，1m(2)20，m4，a(1,2)，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)4已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形证明由已知得，(4,3)(1,0)(3,3)，(0,2)(2,4)(2，2)3(2)3(2)0，与共线(1,2)，(2,4)(4,3)(2,1)，(1)12(2)0，与不共线四边形ABCD是梯形(2,1)，(1,2)，|，即BCAD.故四边形ABCD是等腰梯形
