1、保分专题(九)圆锥曲线的方程与性质全国卷 3 年考情分析年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2017 卷 双曲线的性质、三角形的面积公式T5 1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容,多以选择题的形式考查,常出现在第512题的位置,着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法,难度中等2.圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查,常出现在第20题的位置,一般难度较大卷 双曲线的简单几何性质T5 卷 直线与圆的位置关系、椭圆的离心率T11 双曲线的标准方程、渐近线方程T14 2016 卷 求椭圆的离心率T5 卷 抛物线的基本性质T5 2015 卷 椭圆与抛物线的标准方程和几何性质T5
2、 卷 双曲线的标准方程T15 圆锥曲线的定义与标准方程师生共研悟通圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|);(2)双曲线:|PF1|PF2|2a(2a0,b0)的一条渐近线方程为y52 x,且与椭圆 x212y23 1有公共焦点,则C的方程为()A.x28 y2101 B.x24 y251C.x25 y241 D.x24 y231解析 根据双曲线 C 的渐近线方程为 y 52 x,可知ba 52.又椭圆x212y231 的焦点坐标为(3,0)和(3,0),所以 a2b29.根据可知 a24,b25,所以 C 的方程为x24 y251.答案 B(2)如图,椭圆x2a2
3、y22 1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|4,F1PF2120,则a的值为()A2 B3C4 D5解析 因为b22,c a22,所以|F1F2|2 a22.又|PF1|4,|PF1|PF2|2a,|PF2|2a4,由余弦定理得cos 120422a422 a222242a412,解得a3.答案 B 求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程(2)计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y22ax或x22ay(a0),椭圆常设为mx2ny21(m0,n0),双曲线
4、常设为mx2ny21(mn0)类题通法即学即用练通1顶点在原点,经过圆C:x2y22x2 2y0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为_解析:将圆C的一般方程化为标准方程为(x1)2(y2)23,圆心为(1,2)由题意,知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,且经过点(1,2)设抛物线的标准方程为y22px,因为点(1,2)在抛物线上,所以(2)22p,解得p1,所以所求抛物线的方程为y22x.答案:y22x2若点P在椭圆 x29y21上,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且满足PF1PF2t,则实数t的取值范围是_解析:设 P(x,y),F1(2 2,0),F2(2 2,0),PF1(2 2x,y
5、),PF2(2 2x,y),PF1PF2(2 2x)(2 2x)(y)2x2y28.P 在椭圆x29 y21 上,y21x29,tPF1PF2x2y2889x27,0 x29,7t1,故实数 t 的取值范围为7,1答案:7,1圆锥曲线的几何性质师生共研悟通1椭圆、双曲线中,a,b,c及e之间的关系(1)在椭圆中:a2b2c2,离心率为eca1ba2;(2)在双曲线中:c2a2b2,离心率为eca1ba2.2双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的渐近线方程为ybax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系典例(1)(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点已
6、知|AB|42,|DE|2 5,则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析 设抛物线的方程为y22px(p0),圆的方程为x2y2r2.|AB|4 2,|DE|2 5,抛物线的准线方程为xp2,不妨设A4p,2 2,Dp2,5.答案 B 点A4p,2 2,Dp2,5 在圆x2y2r2上,16p28r2,p24 5r2,16p28p24 5,p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.(2)(2017全国卷)已知双曲线C:x2a2 y2b21(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点若MAN60,则C的离心率为_解析 双曲线的右顶点为
7、 A(a,0),一条渐近线的方程为 ybax,即 bxay0,则圆心 A 到此渐近线的距离 d|baa0|b2a2 abc.又因为MAN60,圆的半径为 b,所以 bsin 60abc,即 3b2 abc,所以 e 232 33.答案 2 33类题通法1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用a,c代换,求ca的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零,分解因式可得(2)用法:可得ba或ab的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程即学即用练通1(2017长沙一模)已
8、知双曲线C1:x2a2y2b21(a0,b0)经过抛物线C2:y22px(p0)的焦点,且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形,则双曲线C1的离心率是()A.2 B.3 C.32D.2 33解析:依题意得,曲线C2的焦点就是曲线C1的右顶点,故曲线C2的准线方程为xa,将xa代入曲线C1的渐近线方程y ba x得,该等边三角形的边长为2b、高为a,于是有a3b,双曲线C1的离心率e1ba22 33.答案:D2(2017天津高考)已知双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为()A
9、.x24 y2121 B.x212y241C.x23 y21D.x2y231解析:由OAF是边长为2的等边三角形可知,c2,batan 60 3.又c2a2b2,联立可得a1,b 3,双曲线的方程为x2y231.答案:D 3(2017全国卷)已知F是抛物线C:y28x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|_.解析:法一:依题意,抛物线C:y28x的焦点F(2,0),因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b0),所以a1,b22,所以N(0,4 2),|FN|4326.法二:如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线
10、交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,PMOF.由题意知,F(2,0),|FO|AO|2.点M为FN的中点,PMOF,|MP|12|FO|1.又|BP|AO|2,|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3,故|FN|2|MF|6.答案:64(2017贵阳模拟)椭圆C:x2a2 y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以线段F1F2为直径的圆与椭圆有交点,则椭圆C的离心率的取值范围是_解析:由题意可知,以F1F2为直径的圆的方程为x2y2c2,将其代入椭圆方程,消去y得(a2b2)x2a2b2a2c20,因为圆与椭圆有交点,所以04(a2b2)(
11、a2b2a2c2)0,所以a2c2(a22c2)0,所以a22c2,即ec2a2 22,又椭圆的离心率e1,所以 22 e0)的过焦点F p2,0的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2p24,y1y2p2,弦长|AB|x1x2p.典例(2017全国卷)设 A,B 为曲线 C:yx24 上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线 AB 的斜率;(2)设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且AMBM,求直线 AB 的方程解答示范(一)搭桥找突破口第(1)问:欲求直线 AB 的斜率,应设 A,B 两点坐标,通过两点满足方程作差,结合已知条件点 A
12、与点 B 的横坐标之和,再用斜率公式求解;(一)搭桥找突破口第(2)问:欲求 AB 的直线方程,应借助(1)的结论,设出直线 AB 的方程,结合给出的条件求设出的参数,即可求得直线的方程(二)建桥寻关键点ABM为直角三角形及其性质:直角三角形的中线等于斜边的一半 信息:AMBM 导数的几何意义,利用平行直线斜率相等可得M的坐标 信息:切线平行直线AB(1)利用两点的斜率公式时,两点的横坐标应不相等(2)直线与曲线交于两点,联立方程消元后得到的一元二次方程的判别式大于0 设两点坐标,作两点坐标满足方程的差,结合斜率公式和横坐标的之和来求解 信息:曲线y上两点A,B的横坐标之和为4 注意什么 想到
13、什么 有什么 解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1x214,y2x224,x1x24,于是直线AB的斜率ky1y2x1x2x1x241.(2)由yx24,得yx2.设M(x3,y3),由题设知x32 1,解得x32,于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm,故线段AB的中点为N(2,2m),|MN|m1|.将yxm代入yx24,得x24x4m0.当16(m1)0,即m1时,x1,222 m1.从而|AB|2|x1x2|4 2m1.由题设知|AB|2|MN|,即4 2m12(m1),解得m7(m1舍去)所以直线AB的方程为xy70.1求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意
14、事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程组并消元转化为一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解类题通法2处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1x2,y1y2,y1y2x1x2三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系:
15、联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解类题通法即学即用练通1在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一条直线,与抛物线yx2相交于A,B两点,若 OA OB2,则c的值为()A1 B2C3 D4解析:设过点C的直线为ykxc(c0),代入yx2,整理得x2kxc0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2k,x1x2c.因为 OA OB2,所以x1x2y1y22,即x1x2(kx1c)(kx2c)2,即x1x2k2x1x2kc(x1x2)c22,所以ck2ckckc22,即c2c20,所以c2或c1(舍去)答案:B 2(2017广
16、西三市第一次联考)已知点M2 2,2 33在椭圆G:x2a2 y2b2 1(ab0)上,且点M到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆G的方程;(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(3,2),求PAB的面积解:(1)2a4 3,a2 3.又点M2 2,2 33在椭圆上,23 43b21,解得b24,椭圆G的方程为x212y241.(2)设直线l的方程为yxm.由yxm,x212y241,得4x26mx3m2120.设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),AB的中点为E(x0,y0),则x0 x1x223m4,y0 x0mm4.
17、AB是等腰PAB的底边,PEAB.PE的斜率k2m433m41,解得m2.此时方程为4x212x0,解得x13,x20,y11,y22,|AB|3 2.此时,点P(3,2)到直线AB:xy20的距离d|322|23 22,PAB的面积S12|AB|d92.创新应用 圆锥曲线与其他知识的交汇问题圆锥曲线是解析几何的核心部分,是高考重点考查的内容,且所占分值较大,近年高考中,圆锥曲线与圆、平面向量、三角函数、不等式、概率、数列等知识交汇,成为命题的热点和难点.典例(1)已知过定点(2,0)的直线与抛物线x2y相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点若x1,x2是方程x2xsin cos 0的两
18、个不相等实数根,则tan 的值是()A12 B12 C2D2解析 设直线方程为yk(x2),由ykx2,yx2,得x2kx2k0,x1x2k,x1x22k,又x1,x2为x2xsin cos 0的两个不同的根,ksin,2kcos,tan 12.答案 A(2)(2015全国卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22 y21上的一点,F1,F2是C的两个焦点若 MF1 0,则y0的取值范围是()A.33,33B.36,36C.2 23,2 23D.2 33,2 33解析 由题意知a 2,b1,c 3,F1(3,0),F2(3,0),MF1(3x0,y0),MF1(3x0,y0)MF1MF10,(
19、3x0)(3x0)y200,即x203y200.点M(x0,y0)在双曲线上,x202 y201,即x2022y20,22y203y200,33 y00,b0)的两个焦点,以 F1,F2 为直径的圆与双曲线的一个交点是 P,且F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是()A.2B.3 C2D5解析:根据对称性,不妨令 2|F1P|F2P|F1F2|F2P|2c.又|F1P|F2P|2a,|F1P|2c2a,|F2P|2c4a.又|F1P|2|F2P|2|F1F2|2,(2c2a)2(2c4a)2(2c)2,整理得 e26e50,e1,e5.答案:D 2在区间1,5和2,4内分别取一个数,记为a,b,则方程x2a2y2b21表示焦点在x轴上,且离心率小于 32 的椭圆的概率为_解析:方程x2a2y2b21表示焦点在x轴上且离心率小于 32 的椭圆,故a2b2,eca a2b2ab2,a2b,a2b.又a1,5,b2,4,画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为S阴影42 12 1212132154,故所求的概率P S阴影241532.答案:1532 “专题过关检测”见“专题检测(十五)”(单击进入电子文档)