1、2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1函数y=（） |x|1的单调增区间为2在ABC中，已知=，则ABC的形状是3已知m，n为直线，为空间的两个平面，给出下列命题：，n；，mn；，；，mn其中的正确命题为4已知|=2，|=3，的夹角为60，则|2|=5数列an满足：a1a2a3an=n2（nN*），则通项公式是：an=6定义区间x1，x2（x1x2）的长度为x2x1，已知函数的定义域为a，b，值域为0，2，则区间a，b长度的最大值与最小值的差为7已知f（x），g（x）均为R上的奇函数且f
2、（x）0解集为（4，10），g（x）0解集为（2，5），则f（x）g（x）0的解集为8设函数y=sinx（0）在区间上是增函数，则的取值范围为9已知x（1，5），则函数y=+的最小值为10若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为11已知ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为12在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB1的中点，在面ABCD中取一点F，使EF+FC1最小，则最小值为13设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和记设为数列Tn的最大项，则n0=14当n为正整数时，函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，设Sn=
3、N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+N（2n1）+N（2n），则Sn=二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=（）求角B的大小；（）若b=，a+c=4，求ABC的面积16如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，且BC=2AD，ADCD，PBCD，点E在棱PD上，且PE=2ED（1）求证：平面PCD平面PBC；（2）求证：PB平面AEC17设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（nN*）（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（）求数列an的通项公式；（）记数列an的前n项和为S
4、n，且，若对于一切的正整数n，总有Tnm，求实数m的取值范围18如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求的取值范围19对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间m，nD，同时满足：f（x）在m，n内是单调函数；当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n则称m，n是该函数的“和谐区间”（1）证明：0，1是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”（2）求证：函数不存在“和谐区间”（3）已知：函数（aR，a0）有“和谐区间”m，n，当a变化时，求出nm的最大值20
5、已知首项为1的正项数列an满足an+12+an2，nN*，Sn为数列an的前n项和（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）设数列an是公比为q的等比数列，若Sn+12Sn，nN*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，ak（k3）成等差数列，且a1+a2+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，ak2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1函数y=（） |x|1的单调增区间为（，0）（亦可写成（，0）【考点】复合函数的单调性【分
6、析】利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可【解答】解：设t=|x|1，则y（）t为减函数，要求函数y=（） |x|1的单调增区间，根据复合函数单调性之间的关系，等价求函数t=|x|1的减区间，当x0时，函数t=|x|1是减函数，函数t=|x|1的单调递减区间为（，0），则函数y=（） |x|1的单调增区间为（，0），故答案为：（，0）2在ABC中，已知=，则ABC的形状是等边三角形【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系【分析】根据正弦定理表示出a，b和c，分别代入已知的中，利用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值即可得到三角形的三个内角相等，得到三角形为等边三角形【解
7、答】解：根据正弦定理得到： =2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入中得： =，即tanA=tanB=tanC，得到A=B=C，所以ABC的形状是等边三角形故答案为：等边三角形3已知m，n为直线，为空间的两个平面，给出下列命题：，n；，mn；，；，mn其中的正确命题为【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间线面位置关系的判定定理和性质进行判断或举出反例【解答】解：当m，mn时，n与的关系为n或n，故错误；若m，n，则mn或m，n为异面直线，故错误；若m，m，显然，故正确；由项目垂直的性质定理可知正确故答案为：4已知|=2，|=3，的夹角为60，则|2|
8、=【考点】向量的模【分析】利用两个向量的数量积的定义求出的值，由=求得结果【解答】解：已知，、的夹角为60，=23cos60=3，=，故答案为5数列an满足：a1a2a3an=n2（nN*），则通项公式是：an=【考点】数列递推式【分析】先计算a1，当n2，将a1a2a3an1=（n1）2，与条件式相比即可得出an【解答】解：n=1时，a1=12=1，当n2时，a1a2a3an=n2，a1a2a3an1=（n1）2，两式相比得an=，故答案为：an=6定义区间x1，x2（x1x2）的长度为x2x1，已知函数的定义域为a，b，值域为0，2，则区间a，b长度的最大值与最小值的差为3【考点】对数函数
9、的值域与最值；对数函数的定义域【分析】先对函数化简可得， =，做出函数的简图，结合图象可知要使得函数的值域为0，2则函数定义域的最大区间为，4，从而可求【解答】解：的值域为0，2或20或1x4即定义域为a，b时函数的值域0，2，由图象可知，定义域大区间的最大值为4=，区间的最小值1=，其差为3故答案为：37已知f（x），g（x）均为R上的奇函数且f（x）0解集为（4，10），g（x）0解集为（2，5），则f（x）g（x）0的解集为（4，5）（5，4）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】求f（x）g（x）0的解集即求两函数函数值同号的自变量的取值集合，故对两函数函数值大于0的集合与函数值小于0的
10、集合进行研究得出函数值符合相同的区间即所求【解答】解：由题意知f（x），g（x）均为R上的奇函数且f（x）0解集为（4，10），g（x）0解集为（2，5），则f（x）0解集为（10，4），g（x）0解集为（5，2），两函数的函数值同号的区间有（4，5）与（5，4）故f（x）g（x）0的解集为（4，5）（5，4）故答案为（4，5）（5，4）8设函数y=sinx（0）在区间上是增函数，则的取值范围为（0，2【考点】正弦函数的图象【分析】根据函数y=sinx（0）在区间上是增函数，得出，求出解集即可【解答】解：函数y=sinx（0）在区间上是增函数，解得 02； 所以的取值范围是（0，2故答案为：（
11、0，29已知x（1，5），则函数y=+的最小值为【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=+=，由f（x）=0得x218x+49=0得x=94，x（1，5），x=94，当1x94时，f（x）0，函数单调递减，当94x5时，f（x）0，函数单调递增，故当x=94时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，此时f（94）=+=+=+=+=+=+=，故答案为：10若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2
12、x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可【解答】解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2+=3，解之得b=故答案为：11已知ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为2【考点】三角函数的最值【分析】利用余弦定理与三角形的面积公式，化简为C的三角函数，通过两角和化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出表达式的最大值【解答】解：在ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，所以=因为c2=a2+b22abcosC，所以=，ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，所以，即ab
13、sinC=c2，=2sinC+2cosC=2sin（C+）2的最大值为：2故答案为：212在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB1的中点，在面ABCD中取一点F，使EF+FC1最小，则最小值为【考点】棱柱的结构特征【分析】由题意，作出点E关于面ABCD的对称点E，连C1E交面ABCD于点F，则C1E的长即为所求【解答】解：由题意，作出点E关于面ABCD的对称点E，连C1E交面ABCD于点F，则C1E的长即为所求E是AB1的中点，C1E=EF+FC1的最小值为故答案为：13设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和记设为数列Tn的最大项，则n0=4【考点】等比数列的前n项和；等
14、比数列的性质【分析】首先用公比q和a1分别表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表达式再根据基本不等式得出n0【解答】解：=因为8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值故答案为：414当n为正整数时，函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，设Sn=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+N（2n1）+N（2n），则Sn=【考点】数列的求和【分析】由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身因此N（x）=x，进而可得，奇数项的和；当x是偶数时，可利用数学归纳法推断出偶数项的和因此由这样一个性质，我们就可将Sn进行分解，分别算
15、出奇数项的和与偶数项的和进而相加【解答】解：由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身因此N（x）=x，当x是偶数时，参看下面的讨论，因此由这样一个性质，我们就可将Sn进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加，即Sn=S奇+S偶，S奇=N（1）+N（3）+N（2n1）=1+3+2n1=4n1当x是偶数时，且x2k，2k+1）当k=1时，x2，4）该区间包含的偶数只有2，而N（2）=1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为T1=1当k=2时，x4，8），该区间包含的偶数为4，6，所以该区间所有的最大奇因数偶数之和为T2=1+3=4当k=3时，x8，16），该区间包
16、含的偶数为8，10，12，14，则该区间所有偶数的最大奇因数之和为T3=1+3+5+7=16，因此我们可以用数学归纳法得出当x2k，2k+1）该区间所有偶数的最大奇因数和Tk=4k1对k从1到n1求和得T1+T2+Tn1=S偶=T1+T2+Tn1+N（2n）=综上可知Sn=S奇+S偶=4n1+=故答案为二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=（）求角B的大小；（）若b=，a+c=4，求ABC的面积【考点】解三角形【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式
17、及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，A+B+C=，sin（B+C）=sinA，2sinAc
18、osB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，sinA0，B为三角形的内角，；（II）将代入余弦定理b2=a2+c22accosB得：b2=（a+c）22ac2accosB，即，ac=3，16如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，且BC=2AD，ADCD，PBCD，点E在棱PD上，且PE=2ED（1）求证：平面PCD平面PBC；（2）求证：PB平面AEC【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）由CDBC，CDPB得出CD平面PBC，故而平面PCD平面PBC；（2）连结BD交AC于O，连结EO利用三角形相似得出=，从而得到OEPB，得出结论【解答】证明：（1）A
19、DBC，ADCD，CDBC，又CDPB，BC平面PBC，PB平面PBC，BCPB=B，CD平面PBC，又CD平面PCD，平面PCD平面PBC（2）连结BD交AC于O，连结EOADBC，AODCOB，又PE=2ED，即，OEPB，OE平面EAC，PB平面EAC，PB平面AEC17设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（nN*）（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（）求数列an的通项公式；（）记数列an的前n项和为Sn，且，若对于一切的正整数n，总有Tnm，求实数m的取值范围【考点】数列与不等式的综合；二元一次不等式（组）与平面区域【分析】（）由x0，y0，3nnx0，可求得x
20、=1，或x=2，则Dn内的整点在直线x=1和x=2上，联立可求得整点纵坐标，进而可得整点个数；（）先求出Sn，从而可得Tn，通过作差可求得Tn的最大项，则m大于等于最大项；【解答】解：（I）由x0，y0，3nnx0，得0x3，x=1或x=2，Dn内的整点在直线x=1和x=2上，记直线y=nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2，则y1=n+3n=2n，y2=2n+3n=n，；（II），当n3时，TnTn+1，且，T2，T3是数列Tn中的最大项，故；18如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；（2）若
21、D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求的取值范围【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）以O为原点，以OA为x轴正方向，建立图示坐标系，设D（t，0）（0t1），求出C坐标，推出，然后求出模的最小值（2）设C（cos，sin），求出的表达式，即可求出的取值范围【解答】解：（1）以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则设D（t，0）（0t1），则，所以，当时，（2）由题意，设C（cos，sin），所以=因为，则，所以19对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间m，nD，同时满足：f（x）在m，n内是单调函数；当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n则称m，n是该函数的
22、“和谐区间”（1）证明：0，1是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”（2）求证：函数不存在“和谐区间”（3）已知：函数（aR，a0）有“和谐区间”m，n，当a变化时，求出nm的最大值【考点】函数单调性的性质【分析】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f（x）=x2在区间0，1上单调递增，且值域也为0，1满足“和谐区间”的定义，即可得到结论（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间m，n为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立（3）设m，n是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出nm的取值，转化
23、为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案【解答】解：（1）y=x2在区间0，1上单调递增又f（0）=0，f（1）=1，值域为0，1，区间0，1是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”（2）设m，n是已知函数定义域的子集x0，m，n（，0）或m，n（0，+），故函数在m，n上单调递增若m，n是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根x23x+5=0无实数根，函数不存在“和谐区间”（3）设m，n是已知函数定义域的子集x0，m，n（，0）或m，n（0，+），故函数在m，n上单调递增若m，n是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即a2x2（a2+a）x+1=0的同
24、号的相异实数根，m，n同号，只须=a2（a+3）（a1）0，即a1或a3时，已知函数有“和谐区间”m，n，当a=3时，nm取最大值20已知首项为1的正项数列an满足an+12+an2，nN*，Sn为数列an的前n项和（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）设数列an是公比为q的等比数列，若Sn+12Sn，nN*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，ak（k3）成等差数列，且a1+a2+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，ak【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）首项为1的正项数列an满足an+12+an2，nN*，化为（2an+
25、1an）（an+12an）0，解得：2又a2=，a3=x，a4=4，代入解出即可得出（2）由于首项为1的正项数列an，由于2可得对q分类讨论：q=1时，n=1时不满足条件，因此q1由2，q1时，经过验证成立：q1.2q1时，化为2qn+1qn10，qn+12qn+10不成立，舍去（3）设首项为1的正项数列an的公差为d，d0，由2，化为1+（n1）d2（1+nd）41+（n1）d分类讨论：n=1时，n=2时，n3时，可得：0d1根据a1，a2，ak（k3）成等差数列，a1+a2+ak=120，可得k+d=120，k=1时，不成立，舍去k2时，解得d=，代入解得：15k120即可得出【解答】解：
26、（1）首项为1的正项数列an满足an+12+an2，nN*，化为（2an+1an）（an+12an）0，2又a2=，a3=x，a4=4，解得：2x3x的取值范围是（2，3）（2）由于首项为1的正项数列an，2q=1时，n=1时不满足：Sn+12Sn，nN*，因此q1可得2，q1时，化为2qn+1qn1，qn+12qn+10，由于qn（2q1）1，因此2qn+1qn1恒成立；由qnq，可得q2nqn+1，qn，2qn1+qn+1，因此qn+12qn+10恒成立，可得：q12q1时，化为2qn+1qn10，qn+12qn+10，无解，舍去综上可得：q1（3）设首项为1的正项数列an的公差为d，d0，由2，可得2，化为1+（n1）d2（1+nd）41+（n1）d，n=1时，0d1；n=2时，d0；n3时，d0综上可得：0d1a1，a2，ak（k3）成等差数列，a1+a2+ak=120，k+d=120，k=1时，不成立，舍去k2时，解得d=，0d101解得：15k120满足条件的正整数k的最小值为16，此时d=，相应数列的通项公式为：an=1+（n1）=数列为：1，142016年10月16日
