1、浙江省丽水市五校2019-2020学年高二数学下学期3月联考试题（含解析）一、选择题1.在空间直角坐标系中，点与点（ ）A. 关于平面对称B. 关于平面对称C. 关于平面对称D. 关于轴对称【答案】C【解析】【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.【详解】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系，考查理解和记忆能力，属于基础题.2.复数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,故选C.3.圆与圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】A【解析】【分析】计算两个圆的圆心距以及，比较
2、大小后得出正确选项.【详解】两个圆的圆心分别为，圆心距，两个圆半径均为，故，所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查圆的圆心和半径以及圆心距的计算，属于基础题.4.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.【详解】当“”时，如，故不能推出“” .当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.5.已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的
3、是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得mn；在B中，与相交或平行；在C中，；在D中，与相交或平行【详解】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在A中，若m，n，则由线面垂直的性质定理得mn，故A正确；在B中，若m，m，则与相交或平行，故B错误；在C中，若m，m，则，故C错误；在D中，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与相交或平行，故D错误故选A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题6.设，则（
4、）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导得到函数的导函数，代入求值即可.【详解】因为，所以.故答案为:B.【点睛】考查了常见函数的导函数的求法，较为基础.7.如图，在空间四边形中，则异面直线与所成角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过计算出的数量积，然后利用夹角公式计算出与所成角的余弦值，进而得出所成角的大小.【详解】依题意可知, .设直线与所成角为，则，故.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量的数量积，计算空间两条异面直线所成角的大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.要求两条异面直线所
5、成的角，可以通过向量的方法，通过向量的夹角公式先计算出夹角的余弦值，再由此得出所成角的大小.8.经过坐标原点的直线与曲线相切于点.若，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得函数在上的表达式，利用导数求得切线的斜率，写出切线方程，利用切线方程过原点求出切点的坐标满足的等式，由此得出正确选项.【详解】当时，故，.所以切点为，切线的斜率为，由点斜式得，将原点坐标代入得，即，故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点的曲线切线方程的求解方法，考查含有绝对值的函数的解析式，考查利用导数求曲线的切线方程，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.本题的关键点有两个：一个是函数在上的表达式，
6、另一个是设出切点，求出切线方程后，将原点坐标代入化简.9.已知椭圆的右焦点是，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别根据为直角时，椭圆的离心率，由此得出正确的选项.【详解】当时，代入椭圆方程并化简得，解得.当时，故.当时，即，解得.综上所述，C选项不可能，故选C.【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形的性质，考查椭圆离心率的求解方法，属于中档题.10.在正方体中，分别为线段、上的动点，设直线与平面、平面所成角分别是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在图中分别作出直线与平面、平面
7、所成的角，根据边长判断出，求出的表达式，并根据表达式求得的最小值，也即是的最大值.【详解】设正方体边长为.过作，而，故平面，故.同理过作，得到.由于，故，所以，即.而，当取得最小值时，取得最小值为，即取得最大值为.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和平面所成的角，考查三角函数最值的判断与求解，属于中档题.二、填空题（前四题每题6分，后三题每题4分满分36分）11.已知直线：，若的倾斜角为，则实数_；若直线与直线垂直，则实数_【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】根据倾斜角求得斜率，由此列方程求得的值.根据两直线垂直的条件列方程，由此解出的值.【详解】当倾斜角为时，斜率为，故.由于直线
8、和直线垂直，所以，解得（时不是直线方程，舍去）.【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率的关系，考查两直线垂直的条件，属于基础题.12.已知函数，则在处的切线方程为_；单调递减区间是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求得的导数，由此求得切线的斜率，并求得切线方程，根据导数求得函数的单调区间.【详解】依题意.，故切线方程为.由，解得，即函数的单调递减区间为.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数求函数的单调区间，属于中档题.13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_；该几何体的体
9、积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】画出三视图对应的原图的直观图，根据直观图判断出最长的棱，利用椎体体积公式求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，原图为四棱锥，画出图像如下图所示.由图可知，为最长的棱长.由三视图可知，故，且四棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体边长的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.解题的关键在于根据俯视图为正方形，计算出侧视图的宽，并求得几何体的高.根据的要点是：长对正、高平齐，宽相等.也即俯视图的宽和侧视图的宽是相等的.14.如图，已知抛物线：，则其准线方程为_；过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，
10、若，则_.【答案】 (1). (2). 6【解析】【分析】根据抛物线的方程求得的值，由此求得准线方程.利用抛物线的定义求得点坐标，进而求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程求得点的坐标，进而求得.【详解】依题意抛物线的方程为，故，所以准线方程为.由于，根据抛物线的定义，代入抛物线方程，求得.所以直线的斜率为，方程为.代入抛物线方程并化简得，解得，根据抛物线的定义可知.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查过抛物线焦点的直线所得弦长问题，属于中档题.抛物线的焦点坐标和准线方程，与的值有关，过抛物线焦点的直线，常用的是利用抛物线的定义来解题.直线和抛物线联立，解方程组
11、可求得交点的坐标.15.函数存在极值点，则的取值范围是_.【答案】【解析】分析】求导，根据题意知方程有两个不等的实根，可得出，进而可求得实数的取值范围.【详解】求导函数，可得，函数存在极值点，有两不等实根，其判别式，或，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数极值点的存在性求参数的取值范围，一般转化为导函数的零点，考查计算能力，属于基础题.16.过双曲线：的左焦点作圆的切线，设切点为，延长交抛物线：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据圆心到切线的距离等于半径求得，根据中位线求得且，利用等面积法求得点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛
12、物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，化简后求得的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线距离等于半径，而，故.所以直线的斜率为，故直线的方程为.由于是的中点，故是三角形的中位线，故且，由等面积法得，解得，代入直线的方程，求得，故.由于抛物线和双曲线焦点相同，故，所以抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程并化简得，即，解得，故双曲线的离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.17.已知矩形，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是_【答案】【解析】【分析】过点D，作
13、交AC于点F，交AB于点G，过点B作交DF于点E，得到点的运动轨迹是以F为圆心，以DF为半径的圆弧，为二面角D-AC-B的平面角.然后计算出运动所对应的圆心角，再用弧长公式求解.详解】如图所示： 矩形中，过点D作交AC于点F，交AB于点G，过点B作交DF于点E，所以点的运动轨迹是以F为圆心，以DF为半径的圆弧，为二面角D-AC-B的平面角.因为，所以，翻折后 ，所以平面DFE， 所以.当时，时等边三角形，所以当时，所以，所以点的运动圆弧所对应的圆心角为.所以点的运动轨迹的长度是.故答案为：【点睛】本题主要考查立体几何中的翻折问题，还考查了数形结合的思想和空间想象、运算求解的能力，属于中档题.三
14、、解答题（本答题共5小题，共74分）18.（1）求直线yx被圆x2(y2)24截得的弦长；（2）已知圆：，求过点的圆的切线方程【答案】（1）2 ；（2）x=3或3x-4y-1=0【解析】【分析】（1）确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长（2）化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y-2=k（x-3），由圆心到切线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求；【详解】（1）圆x2+（y-2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2，圆心到直线y=x的
15、距离为，直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得的弦长为.(2) 圆C：x2+y2-4x+3=0，即（x-2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y-2=k（x-3），即kx-y-3k+2=0，圆心到切线的距离等于半径，即，解得k=此时，切线为3x-4y-1=0综上可得，圆的切线方程为x=3或3x-4y-1=0；【点睛】本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，圆的切线方程，注意切线斜率不存在的情况的考虑.19.已知函数在与处有极值.（1）求函数的解析式；（2）求在上的最值.【答案】（1）；
16、（2）最大值，最小值.【解析】【分析】（1）求得，由题意可得，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；（2）求出函数在区间上的极大值和极小值，并与和比较大小后可得出结论.【详解】（1），则，函数在与处有极值，、是的两个实数根，解得.；（2）由（1）可得.令，解得或，列表如下：极大值极小值由表格可知：当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值.又，可得：当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题.20.在长方体中，为的中点，连接、和.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值
17、；（3）求到面的距离.【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）推导出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论；（2）过在平面中作于，过在平面中作于，连接，证明出平面，可得出为二面角的平面角，然后通过解可求得，即为所求；（3）设点到面的距离为，由可关于的等式，即可解得的值.【详解】（1）在长方体中，为的中点，为等腰直角三角形，同理，即.在长方体中，平面，又平面，.又，平面，平面，平面平面；（2）如图，过在平面中作于，过在平面中作于，连接.在长方体中，平面平面，平面，平面，平面.平面，平面.为二面角的平面角，又，.所以二面角的正切值为；（3）设点到面的距离为，.故到面的距离为.【
18、点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了二面角和点到平面距离的计算，涉及等体积法的应用，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数f（x）lnx+a（x21）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a，x1，+）时，证明：f（x）（x1）ex【答案】（1）函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减（2）见解析【解析】【分析】（1）对f(x)求导，分a0, a0讨论，分析导函数正负，得到函数f（x）单调性；（2）构造函数，对g(x)求导，得到，通过二次求导分析正负，进而得到g(x)的单调性，及g(x)的最小值，故得解.【详解】（1）函数的定义域为（0，+），当a0时，f（x）0在（0，+）上
19、恒成立，所以函数f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，由f（x）0解得，由f（x）0解得，函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减；（2）证明：令，则，g（1）e（e1）10，再令，则，当x1时，即m（x）0，ym（x）在1，+）上单调递增，m（1）g（1）0，m（x）m（1）0，yg（x）在1，+）上单调递增，g（x）g（1）0，综上可知，f（x）（x1）ex【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.22.如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为，记线段的中点为.（）求切线，的方程；（）证明：线段的中点在抛
20、物线上；（）设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标.【答案】（）切线的方程为,切线的方程为.（）见证明；（）【解析】【分析】（）结合导数的几何意义可得切线，的方程；（）由（1）可得，故，.再结合M点的坐标即可明确在抛物线上；（）由题意可得. 设，则.结合均值不等式即可得到结果.【详解】（）切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（另解：设切线的方程为：由消去后可得：切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（）因为点既在切线上，也在切线上，由（1）可得，故，.又点的坐标为.所以点的纵坐标为，即点的坐标为.故在抛物线上.（）由（）知： ，所以 .设，则.当时，即当时，取最大值.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围
