1、1.2 函数及其表示知识导学 函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射,其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合C叫做函数的值域.这里应该注意的是,值域C并不一定等于集合B,而只能说C是B的一个子集. 构成函数的三要素:定义域A,对应法则f,值域B.其中核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了.因此,要确定一个函数,只要定
2、义域与对应法则确定即可. 函数的定义域是函数研究的重要内容,在给定函数的同时应该给定函数的定义域. 一般地,如果不加说明,函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合.据此,就可以“求出”函数的定义域了. 值域是全体函数值组成的集合,一般地,函数的定义域和对应关系确定,值域就随之确定了. 求函数值域是一个相当复杂的问题,常见的方法有(1)图象法;(2)反解x;(3)配方法;(4)换元法.以后还可用单调性、判别式法等. 所谓函数y=f(x)的图象,就是将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0).当自变量取遍函数定义域A中的每一
3、个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为(x0,f(x0)|xA,即(x,y)|y=f(x),xA,所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象. 函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题,即对函数的图象有三点要求:(1)会画各种简单函数的图象;(2)能以函数的图象识别相应函数的性质;(3)能用数形结合思想以图辅助解题. 根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,一是要求出对应法则,二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根
4、据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,但要注意函数定义域还应由实际意义来确定. 函数是特殊的映射,即当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.疑难导析 1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同,例如函数f(x)=|x|,与f(x)=是同一个函数. 2.函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)中,f是表示函数的对应关系,等式y=f(x)表明,对于定义域中的任意x,在对应关系f的作用下,可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径. 函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,它不表
5、示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式,也可以是图象或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值,是一个常量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值. 3.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下,一旦定义域和对应关系确定,函数的值域也就随之确定. 映射作为函数概念的推广,只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合.所以说一个映射关系必为函数关系,反之不然. 映射要求原象必有象,至于象是不是有原象不需要考虑.问题导思 关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高
6、中定义却是从集合、对应的观点出发. 初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动. 高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数: f(x)= 现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的. 有些表达式中的自变量和函数值所用的字母不同,但也是同一个函数.比如:y=3x+2与s=3t+2就是同一个函数. 由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组
7、对应值,列表;最后是画出函数的图象.典题导考绿色通道 判断两个函数或几个函数是不是同一个函数,有时是用定义域和对应关系是否相同来加以判别,但有时判别值域更方便些.比如本题中的第(4)小题.黑色陷阱 对于函数是不是相同的判别,容易发生只看三要素中的其中之一的思维误区,从而造成解答错误.所以说认识函数对应法则必须认清它的本质,否则容易发生从表面上进行判别的错误.典题变式 试判断以下各组函数中,是否表示同一函数?(1)f(x)=,g(x)=;(2)f(x)=,g(x)=(3)f(x)=,g(x)=() 2n-1(nN);(4)f(x)=,g(x)=.答案:(1)不是;(2)不是;(3)是;(4)不是
8、.绿色通道 在求函数的解析式时,有时技巧上的变换对解题起到一定的作用,但通法更重要,因为通法是程式化的东西,解法二就是一种通法,这种变量替换在解数学题中占有重要的地位.黑色陷阱 在进行变量替换时,易忽略替换变量后函数定义域的变化.所以解此类问题一定要细心缜密,不要慌张.典题变式1.求实系数的一次函数y=f(x),使ff(x)=4x+3.答案:f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.2.已知f(x)满足2f(x)+3f()=4x,求函数f(x)的解析式.答案:f(x)=-x+.绿色通道 这里的函数对于所给的解析式,要进行化简才能看出所给的函数都是分段函数,然后再画图象.黑色陷阱 一是容易将图(
9、1)画成直线,主要原因是没有认清定义域为Z和定义域为R的区别.二是容易只画出图象的某一段,从而造成整个图象的缺失.典题变式 作出下列函数的图象:(1)y=|x+1|+|x-2|;(2)y=解:(1)y=|x+1|+|x-2|=作出函数的图象如图1-2-1所示:图1-2-1(2)作二次函数y=x2的图象取x-1的部分,再作y=x+1的图象取x-1的部分,就得到函数y=的图象,如图1-2-6所示.图1-2-6绿色通道 给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲:AB的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”,前两种对应是AB的映射,而后
10、一种不是AB的映射.典题变式 给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述,其中正确的有_.(1)B中任何一个元素在A中必有原象;(2)A中不同元素在B中的象也不同;(3)A中任何一个元素在B中的象是唯一的;(4)A中任何一个元素在B中可以有不同的象;(5)B中某一元素在A中的原象可能不止一个;(6)集合A与B一定是数集;(7)符号f:AB与f:BA的含义是一样的.答案:(1)不对;(2)不对;(3)对;(4)不对;(5)对;(6)不对;(7)不对.绿色通道 本题考查的是分段函数,这是一个实际问题,解题时要用到分类讨论思想及数形结合思想,这是多年的高考热点,也是今后高考命题的方向.(1)画出草图帮
11、助分析时,要明确哪些是关键量,以及这些量的特点(变与不变);(2)对分段函数要选准线段的各端点.(3)可以通过画图判断函数的值域,这也是一种数形结合的解题思想.黑色陷阱 在分段函数的转折点上易发生取舍不当的问题.比如本题如把区间分成0x4,4x10,10x14,则是不对的.典题变式如图1-2-9,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽2 m,渠深1.8 m,边坡的倾角是45.图1-2-9(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;(2)确定函数的定义域和值域;(3)画出函数的图象.答案:(1)A= =h2+2h.(2)定义域为h|0h1.8.值域为A|0A6.84.(3
12、)函数图象如图1-2-10.图1-2-10黑色陷阱 对这类建模方面的问题,一是要经常留心生活中的人和事,不至于遇到类似的情景感到无从下手;二是遇到这类问题不要着急,要理清脉络,找到所对应的数学模型是解题的关键.典题变式1.如图1-2-12,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V以x为自变量的函数式是_,这个函数的定义域为_.图1-2-12答案:V=x(a-2x) 2 x|0x2.某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示:月 份用气量煤气费一月份4米34元二月份25米314元三月份35米319元 该市煤气收费的方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若每月用量不超过最低限度A米3,只付基本费3元和每户每月的定额保险C元,若用气量超过A米3,超过部分每米3付B元,又知保险费C超不过5元,根据上面的表格求A、B、C.答案:A=5,B=0.5,C=1.3.如图1-2-14,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A绕周界运动,用x表示点P的行程,y表示APB的面积,求函数y=f(x)的解析式.图1-2-14答案:y=
