1、第3讲圆的方程基础知识整合1圆的定义、方程(1)在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆(2)确定一个圆的基本要素：圆心和半径.(3)圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)(4)圆的一般方程一般方程：x2y2DxEyF0；方程表示圆的充要条件：D2E24F0；圆心坐标：，半径r.2点与圆的位置关系(1)理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外dr；(x0a)2(y0b)2r2点在圆内dr.求圆的方程，如果能借助圆的几何
2、性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线1(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABCD2答案A解析圆的方程可化为(x1)2(y4)24，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线axy10的距离为1，解得a.故选A2(2019江西南昌模拟)若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部，则实数m的取值范围是()A(1,1)B(，)C(，)D答案C解析原点(0,0)在圆(xm)2(ym)24的内部，(0m)2(0m)24，解得m0，化
3、简得3a24a40，解得2a.4圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0Bx2y210y0Cx2y210x0Dx2y210x0答案B解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5.圆的方程为x2y210y0.5(2019福建厦门模拟)点P(4，2)与圆x2y24上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21答案A解析设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x，y)，由题意得，则故(2x4
4、)2(2y2)24，化简得，(x2)2(y1)21.6(2018天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_答案x2y22x0解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则解得所以圆的方程为x2y22x0.核心考向突破考向一求圆的方程例1(1)(2019海南海口模拟)已知圆M与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的方程为()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21答案C解析到两直线3x4y0,3x4y100的距离都相等的直线方程为
5、3x4y50，联立得方程组解得又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x3)2(y1)21.故选C(2)已知圆的圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)，则圆的方程为_答案x2y22x4y50解析解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得故所求圆的方程为(x1)2(y2)210，即x2y22x4y50.解法二：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为.由题意得解得故所求圆的方程为x2y22x4y50.求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a
6、，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值即时训练1.已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A2y2B2y2C2y2D2y2答案C解析因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y2(x1)上又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为EB，所以圆E的标准方程为2y2.2(2019江苏镇江模拟)圆
7、心在直线y4x上，并且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程为_.答案(x1)2(y4)28解析设圆心A的坐标为(x，4x)，则kAP，kl1，又圆A与直线l相切，kAPkl1，x1，A(1，4)，r2，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.考向二与圆有关的轨迹问题例2(2019内蒙古模拟)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设点M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MAB，所以kC1MkAB1
8、，当x3时，可得1，整理得2y2，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3,0)，代入上式成立设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y得，(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得k2，此时方程为x26x50，解上式得x，因此0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7B6C5D4答案B解析解法一：由(x3)2(y4)21，知圆上点P(x0，y0)可化为APB90，即0，(x0m)(x0m)y0，m2xy266cos8sin2610sin()，40)，m|OP|OC|r，C(3,4)，r1，|OP|6，即m6.故选B与圆有关的最值问题的求解方法(
9、1)借助几何性质求最值形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的即时训练4.(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C，3D2，3答案A解析直线xy20分别与x轴，y轴交于点A，B，A(2,0)，B(0，2)，则|AB|2.点P在圆(x2)2y22上，圆心为(2,0)，圆心到直线的距离d12，故点P到直线xy20的距离d2的范围为，3，则SABP|AB|d2d22,6故选A5设点P(x，y)是圆x2(y3)21上的动点，定点A(2,0)，B(2,0)则的最大值为_答案12解析由题意，得(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12.易知2y4，所以，当y4时，的值最大，最大值为641212.
