1、第3课时 等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从_起，每一项与它的_的比等于_常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母_(q0)表示第2项前一项同一个公比q(2)等比数列的通项公式设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an_.(3)等比中项如果三个数 a、G、b 组成_，则 G 叫做 a 和 b 的等比中项，那么GabG，即 G2_.a1qn1等比数列ab【思考探究】b2ac 是 a，b，c 成等比数列的什么条件？提示：b2ac 是 a，b，c 成等比的必要不充分条件，当 b0，a，c 至少有一个为零时
2、，b2ac成立，但 a，b，c 不成等比数列；反之，若a，b，c 成等比数列，则必有 b2ac.(4)等比数列的前 n 项和公式Sn_ q1_q1.na1a11qn1qa1anq1q2等比数列的性质已知等比数列an的前 n 项和为 Sn.(1)数列can(c0)，|an|，anbn(bn也是等比数列)，a2n，1an 等也是等比数列(2)数列 am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列(3)若 mnpq，则_，特别地，若 mn2p，则_.(4)a1ana2an1amanm1.(5)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是_数列(此时an的公比 q1)(6)当 n 是偶数时，S 偶S 奇q
3、；当 n 是奇数时，S 奇a1S 偶q.amanapaqamana2p 等比1等比数列an中 a54，则 a2a8 等于()A4 B8 C16 D32解析：an是等比数列且 2825，a2a8a2516.答案：C2(2010重庆卷)在等比数列an中，a2 0108a2 007，则公比 q 的值为()A2B3C4D8解析：a2 0108a2 007，q3a2 010a2 0078.q2.答案：A3已知等比数列an中，a212，a414，则a10()A.116B.116 2C.132D.164解析：易知 a2，a4，a6，a10 也成等比数列，则将 a2 作为数列的首项，q12，a10a2q51
4、132.答案：C4设等比数列an的公比 q12，前 n 项和为Sn，则S4a4_.解析：a4a112318a1，S4a11 124112158 a1，S4a415.答案：155(2010福建卷)在等比数列an中，若公比 q4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an_.解析：等比数列an的前 3 项之和为 21，公比 q4，不妨设首项为 a1，则 a1a1qa1q2a1(1416)21a121，a11，an14n14n1.答案：4n1等比数列的判定与证明等比数列的判定方法有：(1)定义法：若an1an q(q 为非零常数)或 anan1q(q为非零常数且 n2)，则an是等比数列(
5、2)中项公式法：若数列an中，an0 且 a2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ancqn(c，q 均为不为 0 的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前 n 项和公式法：若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为常数且 k0，q0,1)，则an是等比数列【提醒】(1)前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn14an2(nN*)(1)设 bnan12an，求证：bn是等比数列；(2)设 cna
6、n3n1，求证：cn是等比数列证明：an2Sn2Sn14an124an24an14an.(1)bn1bn an22an1an12an 4an14an2an1an12an2an14anan12an 2，数列bn是公比为 2 的等比数列，首项为 a22a1.S2a1a24a12，a25.b1a22a13.(2)由(1)知 bn32n1an12an，an12n1 an2n23.数列an2n2 是等差数列，公差为 3，首项为 2.an2n22(n1)33n1.an(3n1)1cn 2n12n22.数列cn为等比数列，公比为 2.【变式训练】1.数列an的前 n 项和为 Sn，且a11，Sn12Snn1
7、，nN*.求证：数列an1从第二项起是等比数列，并求数列an的通项公式证明：由 Sn12Snn1得 Sn2Sn1(n1)1(n2)得 Sn1Sn2(SnSn1)n(n1)故 an12an1(n2)又 an112(an1)，所以an11an1 2(n2)故数列an1从第二项起，是以 a21 为首项，公比为 2 的等比数列又 S22S111，a11，所以 a23.故 an42n212n1(n2)又 a11 满足 an2n1，所以 an2n1.等比数列的基本运算等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎
8、刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程【注意】在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论，切不可忽视 q 的取值而盲目用求和公式(2011江苏苏州调研)已知数列an满足：a11，a2a(a0)数列bn满足 bnanan1(nN*)(1)若an是等差数列，且 b312，求 a 的值及an的通项公式；(2)若an是等比数列，求bn的前 n 项和 Sn.解析：(1)an是等差数列，a11，a2a，an1(n1)(a1)又b312，a3a412，即(2a1)(3a2)12，解得 a2 或 a56
9、.a0，a2.ann.(2)数列an是等比数列，a11，a2a(a0)，anan1.bnanan1a2n1.bn1bn a2，数列bn是首项为 a，公比为 a2 的等比数列当 a1 时 Snn；当 a1 时，Snaa2n1a21 a2n1aa21.【变式训练】2.设等比数列an的公比 q1，前 n 项和为 Sn.已知 a32，S45S2，求数列an的通项公式解析：由题设知 a10，Sna11qn1q，则a1q22，a11q41q5a11q21q.由式得 1q45(1q2)，即(q2)(q2)(q1)(q1)0.因为 q1，所以 q1 或 q2.当 q1 时，代入式得 a12，所以通项公式 an
10、2(1)n1；当 q2 时，代入式得 a112，所以通项公式 an12(2)n1.等比数列的性质等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式anf(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算(2010全国卷)(1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6()A5 2 B7C6D4 2(2)(2010安徽卷)设an是任意等比数
11、列，它的前 n项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()AXZ2YBY(YX)Z(ZX)CY2XZDY(YX)X(ZX)解析：(1)a1a2a35，a7a8a910，且an是各项均为正数的等比数列，a23 5，a83 10.a8a23 2，即 q63 2.q36 2.a4a5a6a35(a2q3)3(3 56 2)35 2.(2)由题意知 SnX，S2nY，S3nZ.又an是等比数列，Sn，S2nSn，S3nS2n 为等比数列，即 X，YX，ZY 为等比数列，(YX)2X(ZY)，即 Y22XYX2ZXXY，Y2XYZXX2，即 Y(YX)X(ZX)，选
12、 D.答案：(1)A(2)D【变式训练】3.(1)(2010北京卷)在等比数列an中，a11，公比|q|1.若 ama1a2a3a4a5，则 m()A9B10C11D12(2)设数列an，bn都是正项等比数列，Sn，Tn 分别为数列lg an与lg bn的前 n 项和，且SnTnn2n1，则 logb5a5_.解析：(1)在等比数列an中，a11，ama1a2a3a4a5a51q10q10.又amqm1，m110，m11.(2)由题意知S9T9lga1a2a9lgb1b2b9lg a95lg b95lg a5lg b5logb5a5 919.答案：(1)C(2)919等比数列的定义，通项公式，
13、前 n 项和公式是解决等比数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点(1)确定等比数列的关键是确定首项 a1 和公比 q.(2)在等比数列通项公式和前 n 项和公式中共涉及五个量 an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”(3)等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前 n 项和(4)在利用等比数列前 n 项和公式时，一定要对公比 q1 或 q1 作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法(5)等差数列与等比数列的关系是：若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若an是等比数列，且 a
14、n0，则lg an构成等差数列通过对近三年高考试题的统计分析不难发现，等比数列作为最基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象难度属中低档的题目较多，但也有难度偏大的题目其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等比数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想(2010天津卷)已知an是首项为 1 的等比数列，Sn 是an的前 n 项和，且 9S3S6，则数列1an 的前 5 项和为()A.158 或 5 B.3116或 5C.3116D.158【全解全析】若 q1，则由 9S3S6得 93a16a1，则 a10，不满足题意，故 q1.由 9S3S6 得 9
15、a11q31qa11q61q，解得 q2.故 ana1qn12n1，1an12n1.所以数列1an 是以 1 为首项，12为公比的等比数列，其前 5 项和为 S5111251123116.答案：C【阅后报告】本题考查了等比数列的基本运算及性质，解答本题难点在计算 q 的值出错，不知把 1q6 表示为(1q3)(1q3)1(2010辽宁卷)设an是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和已知 a2a41，S37，则 S5()A.152B.314C.334D.172解析：an是由正数组成的等比数列，且 a2a41，设an的公比为 q，则 q0，且 a231，即 a31.S37，a1a2a3 1
16、q21q17，即 6q2q10.故 q12或 q13(舍去)，a1 1q24.S541 12511281 125 314.故选 B.答案：B2(2010江西卷)等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则 an()A(2)n1B(2)n1C(2)nD(2)n解析：|a1|1，a11 或 a11.a58a2a2q3，q38，q2.又 a5a2，即 a2q3a2，a20.而 a2a1qa1(2)0，a11.故 ana1(2)n1(2)n1答案：A3(2010陕西卷)已知an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9 成等比数列(1)求数列an的通项；(2)求数列2an的前 n 项和 Sn.解析：(1)由题设知公差 d0.由 a11，a1，a3，a9 成等比数列，得12d118d12d.解得 d1 或 d0(舍去)故an的通项 an1(n1)1n.(2)由(1)知 2an2n，由等比数列前 n 项和公式，得Sn222232n212n12 2n12.练规范、练技能、练速度
