1、第四节基本不等式及其应用A组基础题组1.(2017北京朝阳二模)“x0,y0”是“+2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.当x0时,函数f(x)=有()A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值23.(-6a3)的最大值为()A.9 B.C.3 D.4.已知函数f(x)=4x+(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.5.已知a0,b0,a+2b=3,则+的最小值为.6.(2015北京石景山一模)某学校拟建一块周长为400米的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可
2、能大,矩形的长应该设计为米.7.(2017北京丰台一模)设a+b=M(a0,b0),M为常数,且ab的最大值为2,则M等于.8.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.9.某厂家拟在明年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知明年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将明年该产品的利润y
3、万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家明年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?B组提升题组10.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2 B.-2,0C.-2,+)D.(-,-211.若直线2ax+by-2=0(a0,b0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是()A.2- B.-1C.3+2 D.3-212.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a0,b0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则+的最小值是()A.4 B.C.8 D.913.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+0,y0时,xy+(2y)x的最小值为.15.已知x,y
4、R且满足x2+2xy+4y2=6,则 z=x2+4y2的取值范围为.16.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.答案精解精析A组基础题组1.A2.Bx0,f(x)=1.当且仅当x=,即x=1时取等号.所以f(x)有最大值1.3
5、.B因为-6a3,所以3-a0,a+60,则由基本不等式可知,=,当且仅当a=-时等号成立.4.答案36解析x0,a0,f(x)=4x+2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号,则由题意知a=432=36.5.答案解析由a+2b=3得a+b=1,又a0,b0,+=+2=.当且仅当a=2b=时取等号.6.答案100解析设矩形的长为x米,宽为y米,则由题意得2x+y=400,则xy=2xy=,当且仅当2x=y=200时,等号成立,所以当矩形的面积最大时,矩形的长为100米.7.答案2解析a+b=M(a0,b0),ab=.ab的最大值为2,=2,又M0,M=2.8.解析(1)由2x+8y-xy=
6、0,得+=1.又x0,y0,所以1=+2=,得xy64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=(x+y)=10+10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.9.解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,1=3-kk=2,x=3-,每件产品的销售价格为1.5(元),y=1.5x-8-16x-m=-+29(m0).(2)m0时,+m+12=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,y-8+29=21.故该厂家明年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.B组提升题组10.D1=2x+2y2=2(
7、当且仅当2x=2y时等号成立),2x+y,x+y-2.11.C易知圆心为(1,2),由题意知圆心(1,2)在直线2ax+by-2=0上,a+b=1,+=(a+b)=3+3+2.当且仅当=,即a=2-,b=-1时等号成立.12.D=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),若A,B,C三点共线,则有,(a-1)2-1(-b-1)=0,2a+b=1,又a0,b0,+=(2a+b)=5+5+2=9,当且仅当即a=b=时等号成立.13.B不等式x+m2-3m有解,0,y0,且+=1,x+=+22+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取等号,=4,故m2-3m4,解得m4.实数m的取值范围是(-,-
8、1)(4,+),故选B.14.答案解析xy+(2y)x=+=+,x0,y0,+2=,当且仅当=,即x=y时等号成立,故所求的最小值为.15.答案4,12解析2xy=6-(x2+4y2),又2xy,6-(x2+4y2),x2+4y24(当且仅当x=2y时取等号).又(x+2y)2=6+2xy0,即2xy-6,z=x2+4y2=6-2xy12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知,4x2+4y212,即z=x2+4y2的取值范围为4,12.16.解析(1)设总造价为f(x)元,污水处理池的宽为x米,则长为米.总造价f(x)=400+2482x+80162=1 296x+12 960=1 296+12 960,x0,f(x)1 2962+12 960=38 880,当且仅当x=,即x=10时取等号.当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38 880元.(2)由限制条件知x16.设g(x)=x+,则g(x)=1-,因为g(x)=1-在上恒大于零,故g(x)在上是增函数,当x=时,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,为1 296+12 960=38 882.当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38 882元.版权所有：高考资源网()
