1、考点8.1 空间几何体及其表面积、体积考点梳理1多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形含义有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法
2、：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴、y轴的夹角为45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和5圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l6.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh
3、锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3概念方法微思考1如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和2如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解真题演练1（2020天津）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为ABCD【答案】C【解析】由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以，所以，故选2（2020新课标）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱
4、锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为ABCD【答案】C【解析】设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，则依题意有：，因此有（负值舍去）；故选3（2020新课标）已知，为球的球面上的三个点，为的外接圆若的面积为，则球的表面积为ABCD【答案】A【解析】由题意可知图形如图：的面积为，可得，则，外接球的半径为：，球的表面积：故选4（2019新课标）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，则球的体积为ABCD【答案】D【解析】如图，由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，则顶点
5、在底面的射影为底面三角形的中心，连接 并延长，交于，则，又，可得平面，则，分别是，的中点，又，即，得平面，正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为半径为，则球的体积为故选5（2018新课标）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为ABCD【答案】B【解析】设圆柱的底面直径为，则高为，圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：，解得，则该圆柱的表面积为：故选6（2018新课标）设，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，
6、则三棱锥体积的最大值为ABCD【答案】B【解析】为等边三角形且面积为，可得，解得，球心为，三角形 的外心为，显然在的延长线与球的交点如图：，则三棱锥高的最大值为：6，则三棱锥体积的最大值为：故选7（2017全国）正三棱柱各棱长均为1，为的中点，则四面体的体积是ABCD【答案】D【解析】如图，为正三棱柱，底面为正三角形，侧面为正方形，故选8（2017新课标）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为ABCD【答案】B【解析】圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径，该圆柱的体积：故选9（2020海南）已知正方体的棱长
7、为2，、分别为、的中点，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】如图，正方体的棱长为2，、分别为、的中点，故答案为：10（2020浙江）已知圆锥的侧面积（单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：是_【答案】【解析】圆锥侧面展开图是半圆，面积为，设圆锥的母线长为，则，侧面展开扇形的弧长为，设圆锥的底面半径，则，解得故答案为：11（2020江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是_【答案】【解析】六棱柱的体积为：，圆柱的体积为：，所以此六角螺帽毛坯的体积是：，故答案为：12（2020新课
8、标）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_【答案】【解析】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线，底面半径，则其高，不妨设该内切球与母线切于点，令，由，则，即，解得，故答案为：13（2019全国）已知平面截球的球面所得圆的面积为，到的距离为3，则球的表面积为_【答案】【解析】平面截球的球面所得圆的面积为，则圆的半径为1，该平面与球心的距离，球半径球的表面积故答案为：14（2019江苏）如图，长方体的体积是120，为的中点，则三棱锥的体积是_【答案】10【解析】长方体的体积是120，为的中点，三棱锥的体积：故答案为：1015（2019新课标）学生
9、到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，打印所用原料密度为不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_【答案】118.8【解析】该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，该模型体积为：，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为：故答案为：118.816（2018全国）已知三棱锥的体积为1，、分别为、的中点，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】如图，、分别为、的中点，则，过作平面，交平面于，则故答案为：17（2018天津）如图，已知正方体的棱长为1，则四棱
10、锥的体积为_【答案】【解析】由题意可知四棱锥的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：则四棱锥的体积为：故答案为：18（2018天津）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点，（如图），则四棱锥的体积为_【答案】【解析】正方体的棱长为1，的底面是正方形的边长为：，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为，四棱锥的体积：故答案为：19（2018江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】【解析】正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：故答案为：20（2018上海）如图，在长方体中，
11、是的中点，则三棱锥的体积为_【答案】5【解析】故答案为：521（2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_【答案】【解析】设正方体的棱长为，这个正方体的表面积为18，则，即，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即，即，则球的体积；故答案为：22（2017新课标）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径若平面平面，三棱锥的体积为9，则球的表面积为_【答案】【解析】三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径，若平面平面，三棱锥的体积为9，可知三角形与三角形都是等腰直角三角形，设球的半径为，可得，解得球的表面积
12、为：故答案为：23（2017新课标）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为、为圆上的点，分别是以，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得、重合，得到三棱锥当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：的最大值为_【答案】【解析】解法一：由题意，连接，交于点，由题意得，即的长度与的长度成正比，设，则，三棱锥的高，则，令，令，即，解得，则（2），体积最大值为故答案为：解法二：如图，设正三角形的边长为，则，三棱锥的体积，令，则，令，则，解得，故答案为：24（2020上海）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面（1）若，求四棱锥的体积；（2）若直线与的夹角为，求的长【
13、解析】（1）平面，所以四棱锥的体积为12（2）是正方形，平面，又平面异面直线与所成角为，在中，故在中，25（2019新课标）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1）证明：平面；（2）若，求四棱锥的体积【解析】（1）证明：由长方体，可知平面，平面，平面；（2）由（1）知，由题设可知，在长方体中，平面，平面，到平面的距离，四棱锥的体积26（2017新课标）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，（1）证明：直线平面；（2）若面积为，求四棱锥的体积【解析】（1）四棱锥中，平面，平面，直线平面；（2）解：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，设，则，是的中点，连接，的中点为：，连接，则，面
14、积为，可得：，即：，解得，则强化训练1（2020沈河区校级模拟）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为ABCD【答案】B【解析】如图，设的中点为，的中点为，连接、，则，则为三棱锥三棱锥外接球的球心，设半径为，又，且，则又由，且，可得平面，解得三棱锥外接球的体积为故选2（2020凉山州模拟）已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为ABCD【答案】C【解析】设，由于，所以根据长方体的对称性可知四面体的外接球的即为长方体的外接球，所以，所以（当且仅当，等号成立）故选3（2020迎泽区校级二模）已知三棱锥中，是的中点，点在平面上的射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表
15、面积为ABCD【答案】B【解析】由题意，为等腰直角三角形，是外接圆的圆心，点在平面上的射影恰好为的中点，则；设球心到平面是距离为，则，该三棱锥外接球的表面积为故选4（2020南充模拟）在直角梯形中，与均为等腰直角三角形，且，若将直角梯形沿折叠成三棱锥，则当三棱锥的体积取得最大时其外接球的表面积为ABCD【答案】A【解析】直角梯形中，与均为等腰直角三角形，且，所以，将直角梯形沿折叠成三棱锥，如图所示：即当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，过作平面交于，由于平面平面，所以，即为的中点，所以为的中心，即为三棱锥的外接球的球心所以半径，则故选5（2020镜湖区校级模拟）已知三棱锥中，平面，若，则其外
16、接球的表面积为ABCD【答案】A【解析】如图所示：三棱锥中，平面，若，所以在中，利用余弦定理：解得：，设的外接圆的半径为，则，解得，设外接球的半径为，满足所以故选6（2020南岗区校级模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，则球的表面积为ABCD【答案】D【解析】如图所示：由于平面，则的外接圆的半径满足，解得，三棱锥的四个顶点都在球的球面，设外接球的半径为，所以，所以球的表面积为故选7（2020全国四模）如图，在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的体积为ABCD【答案】D【解析】由，平面，可知，三棱锥，是长方体的一个角，外接球的直径是长方体的体对角线，所以三棱锥外接球的半径为所以外接球的
17、体积，故选8（2020碑林区校级模拟）已知正四棱锥中，且所有的棱长相等，则该四棱锥的外接球的表面积为ABCD【答案】D【解析】如图，设正四棱锥底面的中心为，设外接球的球心为，则在正四棱锥的高上在直角三角形中，则高，则，在直角三角形中，解得，即与重合，即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心，且球半径，球的表面积，故选9（2020黄州区校级三模）在三棱锥中，和都是边长为2的正三角形，当三棱锥的表面积最大时，其内切球的半径是ABCD【答案】A【解析】在三棱锥中，和都是边长为2的正三角形，三棱锥的表面积为，故当时，表面积最大，为，过作的垂线，垂足为，连接，三棱锥的体积为，设内切球的半径为，因为，所以故
18、选10（2020青羊区校级模拟）已知三棱锥中，和是全等的等边三角形，边长为2，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为ABCD【答案】C【解析】如图，当平面平面时，三棱锥体积最大，取中点，连接、，则，因为平面平面，所以可证得平面，平面，取三角形的外心，作，则、四点共面，取三角形的外心，过点作的平行线交于点，因为垂直平面，则垂直平面，于是点到、四点的距离相等，所以点为三棱锥外接球的球心连接，可求得，所以，所以外接球表面积为故选11（2020青岛模拟）在三棱柱中，侧棱底面，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球的表面上，且球的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为ABCD3【答案】B【解析】设三棱柱两
19、底面中心分别为，则的中点为球的球心，设正三棱柱的底面边长，棱柱的高为，则，球的半径，球的表面积的最小值为，棱柱的侧面积为故选12（2020运城模拟）已知长方体的顶点，在球的表面上，顶点，在过球心的一个平面上，若，则球的表面积为ABCD【答案】D【解析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为1，3，8的长方体，则球就是该长方体的外接球，所以球的半径满足，所以球的表面积，故选13（2020香坊区校级一模）九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形
20、木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（注：一丈尺寸，A300立方寸B305.6立方寸C310立方寸D316.6立方寸【答案】D【解析】如图，（寸，则（寸，（寸，设圆的半径为（寸，则（寸，在中，由勾股定理可得：，解得：（寸，即，则则弓形的面积（平方寸）则该木材镶嵌在墙中的体积约为（立方寸）故选14（2020内江三模）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，若异面直
21、线和所成角的正切值为，则该几何体的体积为ABCD【答案】A【解析】连，由题设知、关于对称，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，0，0，0，异面直线和所成角的正切值为，异面直线和所成角的余弦值为，得，该几何体的体积故选15（2020内江三模）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，若异面直线和所成角的余弦值为，则该几何体的体积为ABCD【答案】A【解析】连，由题设知、关于对称，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，0，异面直线和所成角的的余弦值为，解得，该几何体的体积故选16（202
22、0市中区校级模拟）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的半径为A2BCD3【答案】A【解析】正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，在中，得，球的半径为2故选17（2020雨花区校级模拟）如图，四边形的面积为，且，把绕旋转，使点运动到，此时向量与向量的夹角为则四面体外接球表面积的最小值为ABCD【答案】C【解析】由题意，设，向量与向量的夹角为则，四面体外接球为，当且仅当时，取等号，故四面体外接球表面积的最小值故选18（2020庐阳区校级模拟）中国古代第一部数学名著九章算术中，将一般多面体分为阳马，鳖臑，堑堵三种基本立体图形，其中四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，
23、若三棱锥为鳖臑，底面，则此鳖臑的体积为ABCD【答案】A【解析】三棱锥为鳖臑，底面，此鳖臑的体积为：故选19（2020雨花区校级模拟）由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为ABCD【答案】A【解析】把4个正四面体、1个正八面体组合嵌入到棱长为的正方体中，组成棱长为2的正四面体，转化为求其内切球体积高为，故选20（2020吉林模拟）阿基米德立体是一种高度对称的半正多面体，并且都是可以从正多面体经过截角、截半、截边等操作构造而成阿基米德立体的三个视图全都一样，如图是棱长为2的正方体经过截角得到的阿基米德立体的正视图，则该几何体
24、的表面积为ABCD【答案】C【解析】该几何体的直观图如图所示，是通过正方体各棱的中点，将八个角截去，形成的正14面体，其中有8个正三角形面，6个正方形面正14面体的棱长为，所以6个正方形面的面积之和为，8个正三角形面的面积之和为，所以几何体的表面积之和为故选21（2020衡水模拟）已知圆锥的底面半径为2，高为4一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为时该圆柱的体积为ABCD【答案】B【解析】圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为，由题意可知，则有，则圆柱的高，其侧面积，解得当时，该圆柱的体积故选22（2020原州区校级模拟）如图，正四面体，分别是，的中点，的中
25、点分别为，四边形的面积为1则该正四面体体积是A4BCD【答案】D【解析】设的中点，连接，则有，又，平面，则，又，且，四边形为正方形，设正四面体的棱长为，则有，由四边形的面积为1，得，即设正四面体的高为，则，正四面体的体积为故选23（2020福州三模）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为ABCD【答案】D【解析】设圆锥的高为，底面半径为，则当圆锥体积最小时，如图，由可得：，即，圆锥的体积当且仅当，即时取等号该圆锥体积的最小值为内切球体积为该圆锥体积与其内切球体积比故选24（2020桃城区校级二模）在如图所示的空间几何体中
26、，下面的长方体的三条棱长，上面的四棱锥中，平面，则过五点、的外接球的表面积为ABCD【答案】C【解析】问题转化为求四棱锥的外接球的表面积，所以外接圆的半径为，由于平面，则平面，平面，所以平面平面，所以，所以故选25（2020梅河口市校级模拟）若正三棱柱的各个顶点均在同一个半径为1的球面上，且正三棱柱的侧面均为正方形，则该三棱柱的表面积为ABCD【答案】B【解析】根据题意，作出如下所示的图形，其中为球心，也为正三棱柱的中心，为上底面三角形的重心，设正三棱柱的侧棱长为，则其上下底面是边长为的等边三角形，所以，在中，即，解得所以该三棱柱的表面积故选26（2020西安模拟）已知点、在球心为的球面上，若
27、，球心到截面的距离为1，则该球的表面积为_【答案】【解析】由，可知是等腰三角形，作的高线，可得，那么；由正弦定理：，可得外接圆的半径，球心到平面的圆心距离为1，得，那么球的则该球的表面积故答案为：27（2020启东市校级模拟）九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑已知直三棱柱中，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖臑，则鳖臑的体积与其外接球的体积之比为_【答案】【解析】如图所示：，鳖臑为三棱锥，体积为，因为鳖臑的四个面都为直角三角形，所以其外接球的球心为
28、的斜边的中点，所以其外接球的半径为，所以其外接球的体积为，所以鳖臑的体积与其外接球的体积之比为，故答案为：28（2020红河州一模）已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为_【答案】【解析】设外接球的半径为，几何体的轴截面如图：，且，得，解得，球的表面积为故答案为：29（2020龙潭区校级模拟）九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著是算经十书中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，现有一个羡除如图所示，已知上底面是高为2的等腰梯形，右侧面是高为1的等腰梯形，下底面是梯
29、形，前、后侧面均为三角形，且平面平面，则该“羡除”的表面积为_【答案】【解析】，在等腰梯形中，梯形的高为2，同理可得：，过作于，过作于，连接，则有，则，平面，又，平面平面，在等腰中，到的距离为，由对称性可知，该“羡除”的表面积为：故答案为：30（2020天津二模）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形过偶成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_【答案】【解析】由图可知，该六面体是两个棱长为2的正四面体的组合体在正四面体中，设底面三角形的外心为，连接并延长，角于，等边三角形的边长为2，连接，则平面，且该六面体的体积为故答案为：
