1、第4讲随机事件的概率,学生用书P225)1事件的分类确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2.概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)3事件的关系与运算定 义符号
2、表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且AB4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1(2
3、)必然事件的概率：P(A)1(3)不可能事件的概率：P(A)0(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件P(AB)1，P(A)1P(B)1辨明两个易误点(1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数(2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件2集合方法判断互斥事件与对立事件(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的
4、集合的补集1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶解析：选D.事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥2(2016浙江省富阳中学月考)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160，175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A0.2 B0.3C0.7 D0.8解析：选B.因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3
5、，故选B. 3甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B.两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立4(必修3 P123习题3.1A组T1改编)若A，B为互斥事件，则P(A)P(B)_1(填“”、“”、“”、“”)答案：5从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(AB)_(结果用最简分数表示)解析：因为P(A)，P(B)，且A与B是互斥事件所以P(AB)P(A)P(B).答
6、案：考点一随机事件的关系学生用书P226(2016杭州第二中学模拟)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()AA与B是互斥而非对立事件BA与B是对立事件CB与C是互斥而非对立事件DB与C是对立事件解析AB出现点数1或3，事件A，B不互斥更不对立；BC，BC，故事件B，C是对立事件答案D事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，
7、可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系. 1.某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“一种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件(1)A与C；(2)B与D；(3)B与C；(4)C与D.解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报纸”与事件D“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与D是互斥事件由于事件B不发生可导致事件D一定发生，且事件D
8、不发生会导致事件B一定发生，故B与D还是对立事件(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件(4)由(3)的分析，事件D“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件D有可能同时发生，故C与D不是互斥事件考点二随机事件的频率与概率学生用书P227(2015高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期1112131415
9、1617181920天气阴晴晴晴晴晴阴雨阴阴日期21222324252627282930天气晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率解(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.(1)概率与频率的
10、关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率. 2.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.9
11、3，0.89，0.906.(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.90.考点三互斥事件、对立事件的概率(高频考点)学生用书P227随机事件的概率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查，以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度：(1)根据互斥事件求概率；(2)利用对立事件求概率(经典考题)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位
12、顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟
13、”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”将频率视为概率得P(A1)，P(A2)，P(A3).因为AA1A2A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便. 3.(1)(2016绍兴模拟)抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，
14、设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)，P(B)，则出现奇数点或2点的概率是_(2)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：至多2人排队等候的概率；至少3人排队等候的概率解：(1)由题意知抛掷一颗骰子出现奇数点和出现2点是互斥事件，因为P(A)，P(B)，所以根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或2点的概率PP(A)P(B)，故填.(2)记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排
15、队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.1设事件A，B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，则A，B之间的关系一定为()A两个任意事件B互斥事件C非互斥事件 D对立事件解析：选B.因为P(A)P(B)P(AB)，所以A，B之间的关系一定为互斥事
16、件故选B.2从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在30，40克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为()A0.3 B0.5C0.8 D0.7解析：选D.由互斥事件概率加法公式知，重量大于40克的概率为10.30.50.2.又因为0.50.20.7，所以重量不小于30克的概率为0.7.3(2016衢州调研)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是()A. B.C. D.解析：选C.“取出的2个球全是红球”记为事件A，则P(A).因为“取出的2个球不全是红球”为事件A的对立事件，所以其概率为P(A)1P(A)1.4甲、乙两人下棋，两人
17、和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是()A. B.C. D.解析：选A.乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为.5(2016中山模拟)从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是()A BC D解析：选C.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而中的事件可能同时发生，不是对立事件，
18、故选C.6围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A. B.C. D1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥所以P(C)P(A)P(B).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.7某城市2015年的空气质量状况如表所示：污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率
19、为_解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P.答案：8对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB，AC，BC，BD.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而BD，BDI，故B与D互为对立事件答案：A与B、A与C、B与C、B与DB与D9口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有_个解析：摸到黑球
20、的概率为10.420.280.3.设黑球有n个，则，故n15.答案：1510(2016温州八校联考)某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能正确回答出这3个问题，即可晋级下一轮假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为_解析：记“答对0个问题”为事件A，“答对1个问题”为事件B，“答对2个问题”为事件C，这3个事件彼此互斥，“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D，则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件，显然P()P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.20.30.6，故P(D)1P()10.60.4.答案：0.411对一批
21、衬衣进行抽样检查，结果如表：抽取件数n50100200500600700800次品件数m021227273540次品率(1)求次品出现的频率(次品率)；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？解：(1)次品率依次为0，0.02，0.06，0.054，0.045，0.05，0.05.(2)由(1)知，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)0.05.(3)设进衬衣x件，则x(10.05)1 000，解得x1 053，故至少需进货1 053件12(2016浙江省名校联考)某医院一天派出医生下乡医疗，派
22、出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.10.16x0.56，所以x0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96z1，所以z0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y0.20.040.44，所以y0.440.20.040.2.1掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件AB发生的概率为
23、()A. B.C. D.解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)，P(B)，所以P(B)1P(B)1.因为B表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与B互斥，从而P(AB)P(A)P(B).2一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为_解析：(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P.(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事
24、件，则至少取得一个红球的概率为P(A)1P(B)1.答案：3如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有1
25、21216444(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10202030304040505060L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10. 40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，因为P(A1)P(A2)，所以甲应选择L1 .同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，因为
26、P(B1)P(B2)，所以乙应选择L2.4(2016宁波调研)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90，94)94，98)98，102)102，106)106，110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90，94)94，98)98，102)102，106)106，110频数412423210(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一
27、件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，需其质量指标值t94，由试验结果知，质量指标值t94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为4(2)5424242.68(元)
