1、2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（） A abc B cba C bca D bac2命题p：|x|1，命题q：x2+x60，则p是q成立的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3设x0，若x+1恒成立，则a的取值范围是（） A （，+） B （，+） C （1，+） D （2，+）4已知ba0，且a+b=1，那么（） A 2abb B 2abb C 2abb D 2abb5设a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是
2、（） A 4 B a3+b32ab2 C a2+b2+22a+2b D 6已知2a+10，关于x的不等式x24ax5a20的解集是（） A x|x5a或xa B x|ax5a C x|x5a或xa D x|5axa7设函数，则使得f（x）1的自变量x的取值范围是（） A （，21，2 B （，2）（0，2） C （，20，2 D 2，02，+）8当x0时，函数的最小值是（） A B 0 C 2 D 49不等式3的解集是（） A x|2x2 B x|2x1或1x1或1x2 C x|x2且x1 D x|2x1或1x210已知集合M=x|9x27x，N=x|log（x1）0，则MN=（） A （0，
3、） B （，2） C （1，） D （0，1）11对于恒成立，则a的取值范围（） A （0，1） B C D 12设0b1+a，若关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（） A 1a0 B 0a1 C 1a3 D 3a6二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13不等式|a的解集为M，且2M，则a的取值范围为14已知偶函数f（x）在（，0）上为减函数，则满足f（logx2）f（1）的实数x的取值范是15若关于x的不等式|x|+|x1|xa|对xR恒成立，则a的取值范围是16已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为17若正数x
4、，y满足+=2，则xy的最小值是18设x，y，z为正实数，满足x2y+3z=0，则的最小值是三、解答题（共有4个题，每题15分）19（15分）（2015天津校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a3b）0的解为x，解不等式（a2b）x2+2（ab1）x+（a2）020（15分）（2015天津校级模拟）设不等式x22ax+a+20的解集为M，若M1，4，求实数a的范围21（15分）（2005江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式；22（15分）（2014天津）已知函数f（x）=x2ax3（
5、a0），xR（）求f（x）的单调区间和极值；（）若对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，求a的取值范围2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（） A abc B cba C bca D bac考点： 不等式比较大小 专题： 计算题分析： 利用幂函数与对数函数的性质即可判断解答： 解：y=x3是R上的增函数，0ab，又y=log3x为0，+）上的增函数，c=log30.3log31=0，cab故选D点评： 本题
6、考查不等式比较大小，重点考查学生掌握与应用幂函数与对数函数的单调性质，属于容易题2命题p：|x|1，命题q：x2+x60，则p是q成立的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答： 解：由|x|1得1x1，由x2+x60得3x2，即p：1x1，q：3x2，则p是q的充分不必要条件，故答案为：p是q的必要不充分条件，故选：B点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性判断p是q的充分不必要条件是解决本题
7、的关键3设x0，若x+1恒成立，则a的取值范围是（） A （，+） B （，+） C （1，+） D （2，+）考点： 基本不等式 专题： 不等式分析： 问题转化为+a0在x0时恒成立，结合二次函数的性质，从而求出a的范围解答： 解：设x0，若x+1恒成立，则：x2x+a0，即+a0，a0，解得：a，故选：A点评： 本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道基础题4已知ba0，且a+b=1，那么（） A 2abb B 2abb C 2abb D 2abb考点： 基本不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： ba0，且a+b=1，可得：1a，利用a2+b2，可得由，可得=由于b=（a+
8、b）（a2+b2）b=a2+b2b=（1b）2+b2b=2b23b+1，再利用二次函数的性质即可得出解答： 解：ba0，且a+b=1，2a1=a+b2b，1a，=（a+b）（a2+b2）=a2+b2=，又，即=b=（a+b）（a2+b2）b=a2+b2b=（1b）2+b2b=2b23b+1=2=0，b综上可得：2abb故选：B点评： 本题考查了不等式的基本性质、函数的性质、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5设a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是（） A 4 B a3+b32ab2 C a2+b2+22a+2b D 考点： 基本不等式 分析： 根据基本不等式的性质可知排除A，取
9、，判断出B不成立a2+b2+2（2a+2b）=（a1）2+（b1）2排除C；看ab和ab，时D项均成立排除D解答： 解：a0，b0，A4故A恒成立，Ba3+b32ab2，取，则B不成立Ca2+b2+2（2a+2b）=（a1）2+（b1）20故C恒成立D若ab则恒成立若ab，则=20，故D恒成立点评： 本题主要考查了基本不等式问题考查了学生对基础知识的掌握6已知2a+10，关于x的不等式x24ax5a20的解集是（） A x|x5a或xa B x|ax5a C x|x5a或xa D x|5axa考点： 一元二次不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： 求出不等式对应的方程的两根，并判定两根
10、的大小，从而得出不等式的解集解答： 解：不等式x24ax5a20可化为（x5a）（x+a）0；方程（x5a）（x+a）=0的两根为x1=5a，x2=a，且2a+10，a，5aa；原不等式的解集为x|x5a，或xa故选：C点评： 本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应根据条件，比较对应的方程两根的大小，求出不等式的解集来，是基础题7设函数，则使得f（x）1的自变量x的取值范围是（） A （，21，2 B （，2）（0，2） C （，20，2 D 2，02，+）考点： 其他不等式的解法 专题： 计算题分析： 首先分析题目求函数 使得f（x）1的自变量x的取值范围，因为函数是分段函数，故
11、需要在两段分别做分析讨论，然后求它们的并集即可得到答案解答： 解：对于求分段函数 ，f（x）1自变量的取值范围可以分段求解：当x1时候，f（x）=|x+1|1，解得x0或x2根据前提条件故0x1，x2满足条件当x1时候，f（x）=x+31，解得x2，根据前提条件故1x2满足条件综上所述x的取值范围是x2或0x2故选C点评： 此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想以及分类讨论的数学思想要求学生理解分段函数的意义，即为自变量取值不同，函数解析式不同8当x0时，函数的最小值是（） A B 0 C 2 D 4考点： 函数的最值及其几何意义 专题： 计算题分析： 两次利用均值不等式求出最小值，注意
12、等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号解答： 解：x0则x0x2，当x=1时取等号2+2=4当且仅当x=1时取等号故选D点评： 本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要注意等号成立，属于基础题9不等式3的解集是（） A x|2x2 B x|2x1或1x1或1x2 C x|x2且x1 D x|2x1或1x2考点： 其他不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： 由原不等式可得，即1|x|2，由此求得x的范围解答： 解：不等式3，即 0，1|x|2，解得1x2，或2x1，故选：D点评： 本题主要考查分式不等式、绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题10
13、已知集合M=x|9x27x，N=x|log（x1）0，则MN=（） A （0，） B （，2） C （1，） D （0，1）考点： 交集及其运算 专题： 集合分析： 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可解答： 解：M=x|9x27x=x|333x=x|2x23x=x|0x，N=x|log（x1）0=x|0x11=x|1x2，则MN=x|1x，故选：C点评： 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，是解决本题的关键11对于恒成立，则a的取值范围（） A （0，1） B C D 考点： 函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点 专题： 计算题分析： 先将指数函数化成同底，再根
14、据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方即判别式小于零即可解答： 解：=根据y=在R上是单调减函数则x22ax3xa2在R上恒成立，即x2+（32a）x+a20在R上恒成立，=（32a）24a20解得，故选B点评： 本题主要考查了函数恒成立问题，以及根据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题12设0b1+a，若关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（） A 1a0 B 0a1 C 1a3 D 3a6考点： 一元二次不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： 将不等式变形为（a+1）xb（a1）x+b0的解集中的整数恰有3个，再由0b1+a
15、 可得，a1，不等式的解集为 x1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围解答： 解：关于x 的不等式（xb）2（ax）2 即 （a21）x2+2bxb20，0b1+a，（a+1）xb（a1）x+b0 的解集中的整数恰有3个，a1，不等式的解集为 x1，所以解集里的整数是2，1，0 三个32，23，2a2b3a3，b1+a，2a21+a，a3，综上，1a3，故选：C点评： 本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13不等式|a的解集为M，且2M，则a的取值范围为，+）考点： 其他不等式的解法 专题： 不
16、等式分析： 根据不等式|a的解集为M，且2M，可得|a，由此即可求a的取值范围解答： 解：不等式|a的解集为M，且2M，|a，|a|aa2a+a2，解得：a，a的取值范围是，+），故答案为：，+）点评： 本题考查不等式的解法，考查学生的计算能力，属于基础题14已知偶函数f（x）在（，0）上为减函数，则满足f（logx2）f（1）的实数x的取值范是（0，）（2，+）考点： 函数奇偶性的性质 专题： 函数的性质及应用分析： 利用f（x）的奇偶性及在（，0）上的单调性可判断其在（0，+）上的单调性，由f（x）的性质可把f（logx2）f（1）转化为具体不等式，解出即可解答： 解：因为f（x）为偶函数
17、且在（，0）上是减函数，所以f（x）在（0，+）上是增函数，若f（logx2）f（1），则1logx20，或0logx21，解得：x（0，）（2，+）所以实数x的取值范围为（0，）（2，+），故答案为：（0，）（2，+）点评： 本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是利用函数的基本性质化抽象不等式为具体不等式，体现转化思想15若关于x的不等式|x|+|x1|xa|对xR恒成立，则a的取值范围是（0，1）考点： 绝对值三角不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： 令f（x）=|x|+|x1|=，g（x）=|xa|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚
18、线部分）的上方，数形结合求得a的范围解答： 解：令f（x）=|x|+|x1|=，g（x）=|xa|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，故有0a1，故答案为：（0，1）点评： 本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题16已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）考点： 根的存在性及根的个数判断 专题： 函数的性质及应用分析： 由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论解答： 解：由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|
19、x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a0，不满足条件，a0，当a2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，当a=1时，当x0时，f（x）=x25x4，由f（x）=x25x4=x得x2+4x+4=0，则判别式=1644=0，即此时直线y=x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，要使函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则1a2，故答案为：（1，2）点评： 本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大17若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是6考点： 基本不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： 利用基本不等式的性质即可得出
20、解答： 解：正数x，y满足+=2，化为xy6，当且仅当=1时取等号则xy的最小值是6故答案为：6点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题18设x，y，z为正实数，满足x2y+3z=0，则的最小值是3考点： 基本不等式 分析： 由x2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可解答： 解：x2y+3z=0，=，当且仅当x=3z时取“=”故答案为3点评： 本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容三、解答题（共有4个题，每题15分）19（15分）（2015天津校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a3b）0的解为x，解不等式（a2b）x2+2（ab1）
21、x+（a2）0考点： 一元二次不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： 根据一元一次不等式的解求出a=3b0，利用消参法转化为含有参数b的一元二次不等式，进行求解即可解答： 解：（a+b）x+（2a3b）0，（a+b）x3b2a，不等式的解为x，a+b0，且=，解得a=3b0，则不等式（a2b）x2+2（ab1）x+（a2）0等价为bx2+（4b2）x+（3b2）0即x2+（4）x+（3）0即（x+1）（x+3）03+1不等式的解为3+x1即不等式的解集为（3+，1）点评： 本题主要考查含有参数的一元一次不等式和一元二次函数不等式的求解，考查学生的运算和推理能力20（15分）（2015天
22、津校级模拟）设不等式x22ax+a+20的解集为M，若M1，4，求实数a的范围考点： 集合关系中的参数取值问题 专题： 计算题分析： M1，4有两种情况：其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求解答： 解：M1，4有两种情况：其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围设f （x）=x22ax+a+2，有=（2a）24（a+2）=4（a2a2）（2分）（1）当0时，1a2，M=1，4（3分）（2）当=0时，a=1或2当a=1时，M=11，4，故舍去当a=2时，M=21，4（6分）（3）当0时，有a1或a2设方程f （x
23、）=0的两根为x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，由M1，4可得 1x1x24，故应有f（1）0，f（4）0，且f （x）=0的对称轴x=a1，4，即，（8分），解得2a（10分）综上可得，M1，4时，a的取值范围是 （1，（12分）点评： 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题21（15分）（2005江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式；考点： 函数解析式的求解及常用方法 专题： 计算题；综合题分析： （1）将x1=3，x2=4分别代入
24、方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式（2）不等式即为：即（x2）（x1）（xk）0下面对k进行分类讨论：当1k2，当k=2时，当k2时，分别求出此不等式的解集即可解答： 解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=（2）不等式即为，可化为即（x2）（x1）（xk）0当1k2，解集为x（1，k）（2，+）当k=2时，不等式为（x2）2（x1）0解集为x（1，2）（2，+）；当k2时，解集为x（1，2）（k，+）点评： 本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1要有明确的分类标准；2对讨论
25、对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+）上的单调区间，并且只要求出当x0时，函数f（x）=x22ax（a0）最小值进而利用f（x）min1解答此题22（15分）（2014天津）已知函数f（x）=x2ax3（a0），xR（）求f（x）的单调区间和极值；（）若对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，求a的取值范围考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数
26、研究函数的极值 专题： 导数的综合应用分析： （）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（）由f（0）=f（）=0及（）知，当x（0，）时，f（x）0；当x（，+）时，f（x）0设集合A=f（x）|x（2，+），集合B=|x（1，+），f（x）0，则对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，等价于AB，分类讨论，即可求a的取值范围解答： 解：（）f（x）=2x2ax2=2x（1ax），令f（x）=0，解得x=0或x=当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x （，0） 0 （0，） （，+）f（x） 0 + 0 f（x）
27、 递减 0 递增 递减所以，f（x）的单调递减区间为：（，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（）由f（0）=f（）=0及（）知，当x（0，）时，f（x）0；当x（，+）时，f（x）0设集合A=f（x）|x（2，+），集合B=|x（1，+），f（x）0，则对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，等价于AB，显然A下面分三种情况讨论：当2，即0a时，由f（）=0可知，0A，而0B，A不是B的子集；当12，即时，f（2）0，且f（x）在（2，+）上单调递减，故A=（，f（2），A（，0）；由f（1）0，有f（x）在（1，+）上的取值范围包含（，0），即（，0）B，AB；当1，即a时，有f（1）0，且f（x）在（1，+）上单调递减，故B=（，0），A=（，f（2），A不是B的子集综上，a的取值范围是点评： 利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论
