1、第8课时空间线面关系的判定 教学过程一、 问题情境在立体几何初步一章中,我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系?二、 数学建构设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面1,2的法向量分别为n1,n2.问题1展示模型讨论归纳l1l2,l1l2如何用e1,e2表示?解l1l2e1e2,l1l2e1e2.问题2展示直线与平面平行、垂直,观察、讨论l11,l11如何用e1,n1表示?解l11e1n1,l11e1n1.问题3展示两个平面平行、垂直,观察、讨论、归纳12,12如何用n1,n2表示?解12n1n2
2、,12n1n2.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面1,2的法向量分别为n1,n2,则有下表:平行垂直l1与l2e1e2e1e2l1与1e1n1e1n11与2n1n2n1n2三、 数学运用【例1】(教材第102页例3)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,BAC=30,BC=1,AA1=,M是棱CC1的中点,求证:A1BAM.1(见学生用书P63)(例1)处理建议要证明A1BAM,只要证明=0.而=+,=+,故只要证明(+)(+)=0.规范板书证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1AAC,所以=0.因为CM平面ABC,所以CMAB,于是=0.在R
3、tACB中,ACB=90,BAC=30,BC=1,所以AC=,AB=2,=|cos30=2=3.因为,A1A=,M是CC1的中点,所以|=,所以=|cos180=(-1)=-3,所以=(+)(+)=0,故A1BAM.题后反思(1) 证明垂直关系,可通过向量的数量积等于0来实现;(2) 要善于转化,即挖掘已知的垂直关系,将未知向已知转化.变式1在例1中,试以,为基底,先将和分别用基底线性表示,再证明=0.规范板书证明=-,=+,故=+-.因为ABAA1,ACAA1,所以=0,=0,故=2cos30-=0,所以A1BAM.变式2在例1中,试建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示向量,再证明它们互相垂
4、直.规范板书证明以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,不难得到=(-,1,-),=,则=0,所以A1BAM.【例2】(教材第104页例4)如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN平面CDE.2(见学生用书P64)(例2(1)处理建议在教材第83页的例2中,我们曾用共面向量定理证明了MN平面CDE.这里,我们将用坐标的方法加以证明,为此,只需证明向量垂直于平面CDE的法向量.规范板书证明因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以AB,AD
5、,AF互相垂直.不妨设AB,AD,AF的长分别为3a,3b,3c,以,为正交基底,建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(例2(2)所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为=(-a,b,0),=(0,-b,-c),所以=+=(0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),由=(2a,0,-c)(0,3b,0)=0,得.因为MN不在平面CDE内,所以MN平面CDE.题后反思证明线面平行有两种方法:线面平行转化为直线
6、的方向向量与平面的法向量互相垂直;也可转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.变式如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,当AN与AE满足什么数量关系时,MN平面CDE?(变式(1)规范板书证明以,为正交基底,建立如图(2)所示的空间坐标系A-xyz.设AN=xAE,AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(变式(2)所以=(-3a,3b,0)
7、,=(0,-3b,-3c).因为=+=x+=(2a,-3xb+b,-3xc),又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),NM平面ECD,所以,于是(-3x+1)b2=0,解得x=.故当AN=AE时,MN平面CDE.题后反思立体几何中探究性问题用向量的坐标法求解比较方便,这类问题比较重要,应熟练掌握.【例3】如图(1),在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为CD的中点,G为AB的中点,求证:平面ADE平面A1FG.(见学生用书P64)(例3(1)处理建议要证明平面ADE平面A1FG,只要证明AE平面A1FG,只要AE与平面A1FG中两条相交直线垂直,可以通过数量积为0来
8、证明线线垂直.规范板书证明以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1.(例3(2)E,A(1,0,0,),A1(1,0,1),G,F.=,=,=(-1,0,0).=0+-=0,=0+0+0=0.,.A1GGF=G,AE平面A1GF.又AE平面ADE,平面ADE平面A1GF.题后反思证明线面垂直有两种方法:(1)判定定理;(2)直线的方向向量与平面的法向量平行.变式在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M平面EFB1.规范板书解建立如图
9、所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E,(变式)所以=,=(-1,1,0).而E,F分别为棱AB和BC的中点,所以=.设点M(1,1,m),所以=(1,1,m-1).因为D1M平面EFB1,所以D1MEF,D1MB1E,所以=0,=0,即 解得m=.故当M为棱B1B的中点时,D1M平面EFB1.题后反思此类问题如果不用坐标法解决,那么只能是先观察出结果,再证明.若该点不特殊,则极不易观察,而通过坐标法来解,无论该点在什么位置,方法都一样.四、 课堂练习1.如图,已知P是正方形ABCD所在平面外一点,M,N分别是PA,BD
10、上一点,且PMMA=BNND=12,求证:MN平面PBC.(第1题)证明=+=-+=-(-)+(+)=-.在BC上取点E,使=,于是=(-)=,所以MNPE.因为PE平面PBC,所以MN平面PBC.2. 如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上一点,且CE=CC1,求证:A1C平面BDE.(第2题(1)证明如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,(第2题(2)则B(1,0,0),D(0,1,0),E,A1(0,0,2),C(1,1,0),所以=(1,1,-2),=(-1,1,0),=.因为=(1,1,-2)(-1,1,0)=1(-1)+11+(-2)0=0,=(1,1,-2)=10+11+(-2)=0,所以,所以A1CBD,A1CBE.因为BEBD=B,BE平面BDE,BD平面BDE,所以A1C平面BDE.五、 课堂小结综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直:1. 证明线面平行:(1) 线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;(2) 转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面问题,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.2. 证明线面垂直:一是判定定理;二是直线的方向向量与平面的法向量平行.
