1、专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【考纲解读与核心素养】1.一元二次不等式： (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.3培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a
2、0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)或ax2bxc0或f(x)0)，方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式b24ac000或f(x)0_x|xx2_x|xRf(x)0_x|x1x0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(2)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(3)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(4)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足.2含参数的一元二次不等式恒成立若能够分离参数成kf(x)形式则可
3、以转化为函数值域求解设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)kf(x)恒成立kf(x)恒成立kM，kf(x)恒成立kM.【典例剖析】高频考点一 ：二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式【答案】f(x)4x24x7【解析】解法一(利用“一般式”解题)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.解法二(利用“顶点式”解题)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x，m.又根据题意，函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x
4、)4284x24x7.解法三(利用“零点式”解题)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即8.解得a4或a0(舍)所求函数的解析式为f(x)4x24x7.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】（2019陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知二次函数满足：任意的，有成立，且最小值为，与轴交点坐标为（1）求的解析式；（2）是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在；【解析】（1）因为，所以是图象的
5、对称轴，且最小值为，故可设，由得，所以，即；（2）假设存在实数满足题意，由（1）在上递减，在上递增，若，显然不合题意；若，则，不合题意，所以，即是方程的两不等实根，即，所以高频考点二：二次函数图象的识别例2.（2020山东省微山县第一中学高一月考）对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图像不可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】当时，函数单调递减，开口向下，对称轴在y轴的左侧，排除C，D；当时，函数单调递增，开口向上，对称轴在y轴的右侧，排除B；故选：A【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式训练】（2019辽宁高考模拟（理）函数的图象大致是（ ）A BC D【答案】C【解析】当时，,所
6、以舍去A,D,当时，,所以舍去B,综上选C.高频考点三：二次函数的单调性问题例3.（2019北京临川学校高二期末（文）若函数f(x)8x22kx7在1，5上为单调函数，则实数k的取值范围是（ ）A(，8B40，)C(，840，)D8，40【答案】C【解析】由题意得，函数图象的对称轴为，且抛物线的开口向上，函数在1,5 上为单调函数，或，解得或，实数k的取值范围是故选C【总结提升】研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论(2)若已知f(x)ax2bxc(a0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A，即区间A一
7、定在函数对称轴的左侧(右侧)【变式探究】(2019浙江“超级全能生”模拟)已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围是()A， B1，C2,3 D1,2【答案】B【解析】由于f(x)x22tx1的图象的对称轴为xt，又yf(x)在(，1上是减函数，所以t1.则在区间0，t1上，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，只需1(t21)2，解得t.又t1，1t.高频考点四：二次函数的最值问题例4. （浙江省名校新高考研究联盟
8、（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为_【答案】【解析】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，中之一，所以可得，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为故答案为【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成【变式探究】（2019天津高考模拟（文）若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为_.【答案】【解析】设不等式对任意实数都成立，只需
9、满足，即可.所以有因此实数的最大值为.高频考点五：二次函数的恒成立问题例5. （2019北京高三高考模拟（理）已知函数 当时，的最小值等于_；若对于定义域内的任意，恒成立，则实数的取值范围是_【答案】 【解析】当时，3x0时，f(x)（x1）22，得：当x1时，f（x）有最小值为2，0x3时，f(x)（x1）21，得：当x3时，f（x）有最小值为3，所以，当时，的最小值等于3，定义域内的任意恒成立， 3x0时，有，即：恒成立，令，在3x0时，g（x）有最小值：g（0）g（3）1，所以，0x3时，有，即：恒成立，令，在0x3时，g（x）有最大值：g（），所以，实数的取值范围是【总结提升】由不等式
10、恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是： (1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析【变式探究】（2020天津市咸水沽第二中学高三一模）已知函数若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】由题意，当时，不等式可化为显然不成立；当时，不等式可化为，所以，又当时
11、，当且仅当，即时，等号成立；当时，不等式可化为，即；因为存在使得关于x的不等式成立，所以，只需或.故答案为：.高频考点六：二次函数与函数零点问题例6. （2020宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理）已知函数.（1）若的值域为，求关于的方程的解；（2）当时，函数在上有三个零点，求的取值范围.【答案】（1）或.（2）【解析】（1）因为的值域为，所以.因为，所以，则.因为，所以，即，解得或.（2）在上有三个零点等价于方程在上有三个不同的根.因为，所以或.因为，所以.结合在上的图象可知，要使方程在上有三个不同的根，则在上有一个实数根，在上有两个不等实数根，即，解得.故的取值范围为.【规律总结】1.一元
12、二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标2注意灵活运用根与系数的关系解决问题【变式探究】（2019马关县第一中学校高一期末）已知二次函数，且-1,3是函数的零点.（1）求解析式，并解不等式;（2）若，求行数的值域【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得 即 ，（2）令 高频考点七：一元二次不等式恒成立问题例7.（2019湖北高三月考（理）若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为( )A9B10C11D12【答案】A【解析】由时，恒成立可得：令，可得，图象如下图所示：要使最大，则必过，且与相切于点则此
13、时，即直线方程为：联立得：，解得：由图象可知 本题正确选项：【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是： (1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析【变式探究】（2020济源市第六中学高二月考（文）已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解
14、析】要使在区间上，不等式恒成立，只需恒成立，设，只需小于在区间上的最小值，因为，所以当时，所以，所以实数的取值范围是.高频考点八：二次函数的综合应用例8（2016上海市松江二中高三月考）设 (R)(1) 若，求在区间上的最大值；(2) 若，写出的单调区间；(3) 若存在，使得方程有三个不相等的实数解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）的单调增区间为和，单调减区间（3）【解析】（1）当时， =, 在R上为增函数， 在上为增函数， 则 . （2）, ,当时， ， 在为增函数 ,当时， ，即, 在为增函数，在为减函数 , 则的单调增区间为和，单调减区间 .（3）由（2）可知，当时， 为增函数，方程
15、不可能有三个不相等实数根, 当时，由（2）得 ,即在有解, 由在上为增函数, 当时， 的最大值为 ,则 .【总结提升】对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.【变式探究】（2020海丰县彭湃中学高一期末）已知函数，且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）若不等式在上恒成立，求n的取值范围；【答案】（1） （2）【解析】（1）,.是偶函数,., .（2）令,不等式在上恒成立,等价于在上恒成立,.令,则,.
