1、二十八 双曲线方程及性质的应用(15 分钟 30 分)1已知 m1 且 m0，则二次曲线 x21m y2m 1 与x24 y23 1 必有()A不同的顶点B不同的焦距C相同的离心率D相同的焦点【解析】选 D.若 m0，则 1mm0，则二次曲线 x21m y2m 1 表示焦点在x 轴上的椭圆，此时 c2a2b21m(m)1，故焦点坐标为(1，0)，因此与椭圆x24 y23 1 具有相同的焦点 当 0m0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21 a2 y21 b2 1，x22 a2 y22 b2 1，x1x224，y1y230，由得y1y2x1x2 4b25a2，从而4b25a2 1
2、，又因为 a2b2c29，故 a24，b25，所以 E 的方程为x24 y25 1.3设 F 是双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的右焦点，过点 F 作斜率为 3 的直线 l与双曲线左、右支均相交，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，10)B(1，5)C(10，)D(5，)【解析】选 C.双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的渐近线方程为 yba x，由斜率为 3 的直线 l 过双曲线的右焦点，且与双曲线左、右支各有一个交点，则ba 3，即 b29a2，c210a2，可得 e 10.4(2019全国卷)双曲线 C：x24 y22 1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线
3、上，O 为坐标原点，若|PO|PF|，则 PFO 的面积为()A3 24B3 22C2 2 D3 2【解析】选 A.由双曲线的方程x24 y22 1 可得一条渐近线方程为 y22 x；在PFO 中|PO|PF|，过点 P 作 PHOF.因为 tan POF22 ，OF6，OH12 OF，所以 PH32 ；所以 SPFO12 32 6 324 .5(2020天津高二检测)已知双曲线x2a2 y2b2 1()a0，b0的两条渐近线分别为直线 l1，l2，经过右焦点 F 且垂直于 l1 的直线 l 分别交 l1，l2 于 A，B 两点，且FB2AF，求该双曲线的离心率【解析】双曲线的渐近线的方程为
4、yba x.不妨设直线 l 的方程为 yab()xc，由yab()xcybax可得xa2cyabc，所以 Aa2c，abc.由yab()xcybax可得x a2ca2b2y abca2b2，所以 Ba2ca2b2，abca2b2，因为FB 2AF，故 a2ca2b2c2ca2c abca2b2020abc，整理得到 c22a22b2，即 3c24a2，故 e2 33.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1(2020池州高二检测)与椭圆 C：y216 x212 1 共焦点且过点()1，3的双曲线的标准方程为()Ax2y23 1 By22x21Cy22 x22 1 D
5、y23 x21【解析】选 C.设双曲线的方程为y2a2 x2b21(a0，b0)，根据题意得a2b216124，（3）2a212b21，解得 a2b22，所以该双曲线的标准方程为y22 x22 1.2(2020长沙高二检测)设点 M，N 均在双曲线 C：x24 y23 1 上运动，F1，F2是双曲线 C 的左、右焦点，则12MFMF2MN的最小值为()A2 3B4 C2 7D以上都不对【解析】选 B.由题意，设 O 为 F1F2 的中点，根据向量的运算，可得12MFMF2MN2MO2MN 2NO ，又由 N 为双曲线 C：x24 y23 1 上的动点，可得NO a，所以12MFMF2MN2NO
6、 2a4，即12MFMF2MN的最小值为 4.3(2020沈阳高二检测)若圆 x2(y 2)2r2 与双曲线x22 y22 1 没有公共点，则半径 r 的取值范围是()A0r 2B0r 112C0r 3D0r 132【解析】选 C.若圆 x2()y 22r2 与双曲线x22 y22 1 没有公共点，则半径r 小于双曲线上的点到圆心距离的最小值，设双曲线上任意点 P()x，y，圆心A()0，2，|PA x2()y 2 2 2y2()y 2 2 2y22 2y4，当 y 22时，|PA 的最小值为 3，所以半径 r 的取值范围是 0r0，b0)的实轴长为 6，焦距为 10，右焦点为 F，则下列结论
7、正确的是()AC 的渐近线上的点到 F 距离的最小值为 4BC 的离心率为54CC 上的点到 F 距离的最小值为 2D过 F 的最短的弦长为323【解析】选 AC.由题意知，2a6，2c10，即 a3，c5，因为 b2c2a2，所以 b225916，解得 b4，所以右焦点为 F()5，0 ，双曲线 C 的渐近线方程为 y43 x，对于选项 A：由点 F 向双曲线 C 的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为 C 的渐近线上的点到 F 距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，d 435012432 4，故选项 A 正确；对于选项 B：因为 a3，c5，所以双曲线 C 的离心率为 eca 53，故选项
8、B错误；对于选项 C：当双曲线 C 上的点为其右顶点()3，0 时，此时双曲线 C 上的点到 F的距离最小为 2，故选项 C 正确；对于选项 D：过点 F 且斜率为零的直线与双曲线的交点为 A()3，0 ，B()3，0 ，此时过点 F 的最短弦为 AB6，故选项 D 错误 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7如果双曲线x2a2 y2b2 1 右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是_.【解析】如图，因为 OAAF，F(c，0)，所以 xAc2，因为 A 在右支上且不在顶点处，所以c2 a，所以 eca 2.答案：(2，)8已知双曲线 C 的方程
9、为x2a2 y29 1(a0)，过原点 O 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A，B 两点，点 F 为双曲线 C 的左焦点，且 AFBF，则 ABF 的面积为_【解析】双曲线 C 的方程为x2a2 y29 1(a0)，过原点 O 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A，B 两点，点 F 为双曲线 C 的左焦点，且 AFBF，设 AFm，BFn，可得 mn2a，m2n24c2，可得：m2n22mn4a2，可得：12 mnc2a2b29.答案：9四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的离心率为 5，虚轴长为 4.(1)求双曲线的标准方程(2
10、)过点(0，1)，倾斜角为 45的直线 l 与双曲线 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求 OAB 的面积【解析】(1)依题意可得ca 5，2b4，c2a2b2，解得 a1，b2，c 5，所以双曲线的标准方程为 x2y24 1.(2)直线 l 的方程为 yx1，联立yx1，4x2y24，消去 y 得 3x22x50，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系可得 x1x223，x1x253，则|AB|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2 2 492038 23，原点到直线 l 的距离为 d 22，所以 S OAB12|AB|d12 8 23 2243.所以 OA
11、B 的面积为43.10已知双曲线 C：x24 y23 1.(1)求与双曲线 C 有共同的渐近线，且实轴长为 6 的双曲线的标准方程(2)P 为双曲线 C 右支上一动点，点 A 的坐标是(4，0)，求|PA|的最小值【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为x24 y23(0)，当 0 时，方程为x24 y23 1，令 4622得 94，即双曲线方程为x29 4y227 1，当 0 时，方程为 y23 x24 1，令3622得 3，即双曲线方程为y29 x212 1，所以双曲线的标准方程为x29 y22741 或y29 x212 1.(2)设 P(x0，y0)(x02)，满足x204y2031，|
12、PA|（x04）2y20（x04）23x204 174x20 8x013 74x01672277.则当 x0167 时，|PA|有最小值，为3 217.【创新迁移】1已知双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线的离心率 e 的最大值为_.【解析】由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，又已知|PF1|4|PF2|，所以|PF1|83 a，|PF2|23 a，在 PF1F2 中，由余弦定理得cos F1PF2649 a249a24c2283a23a178 98 e2，要求 e 的最大值，即求 cos F1
13、PF2 的最小值，因为 cos F1PF21，所以 cos F1PF2178 98 e21，解得 e53，即 e 的最大值为53.答案：532已知椭圆 C1 的方程为x24 y21，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点，O 为坐标原点(1)求双曲线 C2 的方程(2)若直线 l：ykx 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OA OB 2，求 k 的取值范围【解析】(1)设双曲线 C2 的方程为x2a2 y2b2 1(a0，b0)，则 a2413，c24，再由 a2b2c2，得 b21，故双曲线 C2 的方程为x
14、23 y21.(2)将 ykx 2 代入x23 y21，得(13k2)x26 2 kx90.由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，得13k20，（6 2k）236（13k2）36（1k2）0，所以 k21 且 k213.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 6 2k13k2，x1x2 913k2.所以 x1x2y1y2x1x2(kx1 2)(kx2 2)(k21)x1x2 2 k(x1x2)23k273k21.又因为OA OB 2，即 x1x2y1y22，所以3k273k21 2，即3k293k210，解得13 k23.由得13 k21，故 k 的取值范围为1，3333，1.
