1、一元二次不等式的解法（一）oxy问题：（1）如何解一元二次方程（2）二次函数 的图象是 什么曲线？（3）一元二次方程 的 解与二次函数 的图象 有什么联系？)0(02acbxax)0(2acbxaxy)0(02acbxax)0(2acbxaxy一元二次方程 的解实 际上就是二次函数 与x轴交点的横坐标。)0(02acbxax)0(2acbxaxy下面我们来研究如何应用二次函数的图象来解一元二次不等式。首先，我们可以把任何一个一元二次不等式转化为下列四种形式中的一种：)0(0)1(2acbxax)0(0)2(2acbxax)0(0)3(2acbxax)0(0)4(2acbxax以上四个不等式中我
2、们规定了如果题目中给出的不等式中二次项系数小于0，哪怎么办呢？0a对了，我们只要在不等式两边同乘-1，然后把不等式的方向改变一下，就可化为以上四种形式中的一种。下面我们就利用二次函数的图象来解以上4个不等式。设f(x)=ax2+bx+c(a0),且设方程f(x)=0在0时的两个根分别是x1、x2，且x1x2。下面我们一起来完成下表：b24ac000f(x)0的解集f(x)0的解集f(x)0的解集f(x)0的解集y=f(x)的图象Oxyx1x212xxxxx或21xxxx12xxxxx或21xxxxOxyxb2aabxRx2abxx2OxyRR R填写上表的依据是二次函数的图象，这实际上是一种数
3、形结合的思想。由此我们可以得出解一元二次不等式的一般步骤：（1）把所给不等式化为四种标准形式之一；（2）判断所对应二次方程的根的情况；若有根，则求出其根。（3）画出所对应的二次函数的图象；（4）根据图象写出不等式的解集。例1、求下列不等式的解集：0156)1(2xx01544)2(2 xx325)3(2xx169)4(2xxxx453)5(2解：（1）将原不等式变形为：即原不等式的解集为01562 xx0)1)(16(xx611xxx或解：（2）将原不等式变形为原不等式的解集为0)32)(52(xx2325xx解：（3）将原不等式变形为方程所对应的=-560原不等式的解集为R。03252 xx
4、03252 xx解：（4）将原不等式变形为所对应的二次方程的=0，原不等式的解集为01692 xx31xRx解：（5）将原不等式变形为所对应的二次方程的=-440，原不等式的解集为05432 xx例2、已知关于x的不等式的解集是xx-2或x求的解集。02cbxax2102cbxax分析：本题主要强化一元二次方程、一元二次不等式与二次函数图象间的关系。解法一：由此可得abc=(-2)(-5)(-2)且a0,所求解的不等式为：0)21)(2(212xxxxxx或0252025222xxxxxx02522xx即(x-2)(2x-1)0,解得不等式的解集为221 x02cbxax221xx解法二：由已
5、知得的两个根，且a0，解得021,22cbxax是方程02141024cbacbaacab,25不等式即为即不等式的解集为02cbxax02522 xx221 x02cbxax221xx小结：两种解法都是先试图找出a、b、c的关系，再解出一元二次不等式的解集。例3、不等式对任意xR恒成立，求a与m之间的关系。)1()1(22xxmaaxxa分析：不等式对任意xR恒成立，就是不等式的解集为R。对于二次不等式的解集为R的条件为02cbxax0402acba解：将原不等式变形为以上不等式对xR恒成立。当a-m+1=0时，原不等式化为 x-10，与xR不符，应舍去。0)()()1(2maxmaxma当
6、a-m+10时，由得：am，则有a-m0 联立得am。0)(1(4)(012mamamama01)1(3)(mama注意：二次项系数为0的情况一定要考虑，而这往往是容易忽略的，一定要引起大家的高度重视。例4、解关于x不等式0622aaxx解：原不等式可化为它所对应的二次方程的两 根为-2a，3a。当-2a3a，即a0时，原不等式的解集为x3ax-2a；当-2a=3a，即a=0时，原不等式的解集为；当-2a3a，即a0时，原不等式的解集为x-2ax3a。0)2)(3(axax小结：解含有参数的不等式时，要利用分类讨论的思想，确定分类的标准，对参数进行分类讨论。小结：（1）根据数形结合的思想，利用二次函数的图象解二次不等式。（2）根据分类讨论的思想，正确选定分类标准，解含参数的不等式。同学们再见！
