1、二十九 抛物线的标准方程(15 分钟 25 分)1已知抛物线的标准方程为 y2ax，则其焦点坐标为()Aa4，0B0，a4Ca4，0D0，a4【解析】选 A.抛物线的标准方程为 y2ax，则其焦点坐标为a4，0.2抛物线 y14 x2 的准线方程是()Ay1 By2 Cx1 Dx2【解析】选 A.因为 y14 x2，所以 x24y，所以抛物线的准线方程是 y1.3点 M(5，3)到抛物线 yax2 准线的距离为 6，那么抛物线的方程是()Ay12x2 By12x2 或 y36x2Cy36x2 Dy 112 x2 或 y 136 x2【解析】选 D.分两类 a0，a0)，因为抛物线拱桥离水面 3
2、 米，水面宽 12 米，所以将()6，3代入抛物线方程可得 366p，所以 p6，所以抛物线方程为 x212y.如果水面下降 1 m，则令 y4，得 x4 3，所以水面宽 8 3 m.答案：8 3 m(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1已知曲线 E 的方程为 ax2by2ab(a，bR)，则下列选项错误的是()A当 ab1 时，E 一定是椭圆B当 ab1 时，E 是双曲线C当 ab0 时，E 是圆D当 ab0 且 a2b20 时，E 是直线【解析】选 A.A：若 ab1，假设 ab1，则方程为 x2y21，不是椭圆，所以 A 错误；B：当 ab1 时，因为 a0
3、，b0，所以方程为：ax21a y21，即y2a ax21，则 E 表示双曲线，所以 B 正确；C：当 ab0 时，方程为：x2y2a(a0)表示圆，所以 C 正确；D：当 ab0 且 a2b20 时，即 a0，b0，方程为：y0，则 E 是直线；同理 b0，a0，则方程为：x0，所以 E 表示直线，所以 D 正确2抛物线 x22py(p0)的焦点 F，其准线与双曲线x23 y23 1 相交于 A，B 两点，若 ABF 为等边三角形，则 p()A3 B4 C6 D8【解析】选 C.如图，在正三角形 ABF 中，DFp，BD 33p，所以 B 点坐标为33 p，p2，又点 B 在双曲线上，故13
4、p23p243 1，解得 p6.3如果 P1，P2，Pn 是抛物线 C：y24x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x2，xn，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1x2xn10，则|P1F|P2F|PnF|等于()An10 Bn20C2n10 D2n20【解析】选 A.由抛物线的方程 y24x 可知其焦点为(1，0)，准线为 x1，由抛物线的定义可知|P1F|x11，|P2F|x21，|PnF|xn1，所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10.4设点 A(4，5)，抛物线 x28y 的焦点为 F，P 为抛物线上与直线 AF 不共线的一点，则 PAF 周长的最小值为
5、()A18 B13C12 D7【解析】选 C.因为抛物线 x28y，故焦点 F()0，2，准线方程为：y2，过点P 作 PP1 垂直于准线交准线于点 P1，过点 A 作 AA1 垂直于准线交准线于点 A1，根据抛物线的定义可知|PF|PP1，因为 A()4，5，所以|AF 42()52 2 5，|AA1 5()27，C PAF|AF|AP|PF|AF|AP|PP1|AF|AA1 5712.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5(2020沈阳高二检测)已知抛物线 y22px()p0上一点 M 到其准线及对称轴的距离分别为 10
6、 和 6，则 p 的值可取()A1 B2 C9 D18【解析】选 BD.设 M(x0，y0)，所以有 y20 2px0，由点 M 到其准线及对称轴的距离分别为 10 和 6，所以有 x0p2 10，|y0 6，所以有y20 2px0，x0p210，|y0 6，可得 p220p360，故 p2 或 p18.6(2020三亚高二检测)已知双曲线x24 y2b2 1 的右焦点与抛物线 y212x 的焦点 F 重合，则()A双曲线的实轴长为 2B双曲线的离心率为 3C双曲线的渐近线方程为 y 52xDF 到渐近线的距离为 5【解析】选 CD.抛物线 y212x 的焦点 F()3，0，故 4b232，b
7、25，故双曲线方程为x24 y25 1，双曲线的实轴长为 2a4，A 错误；双曲线的离心率为 eca 32，B 错误；双曲线的渐近线方程为 y 52 x，C 正确；F 到渐近线的距离为 d 3 52154 5，D 正确 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7以椭圆x216 y29 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_【解析】因为椭圆的方程为 x216 y29 1，所以右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，则p2 4，即 p8，所以抛物线的标准方程为 y216x.答案：y216x 8(2020平罗高二检测)抛物线 y22px()p0上一点 M 的横坐标为 3，且
8、|MF 2p，则抛物线的方程为_【解析】抛物线的准线方程为：xp2，所以|MF 3p2 2p，解得 p2，所以抛物线的方程为：y24x.答案：y24x四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知抛物线 y22x 的焦点为 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3，2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时 P 点的坐标【解析】将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6.因为 6 2，所以 A 在抛物线内部设抛物线上动点 P 到准线 l：x12 的距离为 d，由抛物线的定义，知|PA|PF|PA|d.当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时
9、 P 点的纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2，所以 P 点的坐标为(2，2).10如图所示，抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴上，准线 l 与圆 x2y21 相切(1)求抛物线 C 的方程(2)若点 A，B 都在抛物线 C 上，且FB 2OA，求点 A 的坐标【解析】(1)依题意，可设抛物线 C 的方程为 x22py(p0)，其准线 l 的方程为 yp2.因为准线 l 与圆 x2y21 相切，所以圆心(0，0)到准线 l 的距离 d0p21，解得 p2.故抛物线 C 的方程为 x24y.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21 4y1，x22 4y2，由题意得 F(0，1)，所以FB(x2，y21)，OA(x1，y1)，因为FB 2OA，所以(x2，y21)2(x1，y1)(2x1，2y1)，即x22x1，y22y11，代入得 4x21 8y14，即 x21 2y11，又 x21 4y1，所以 4y12y11，解得 y112，x1 2，即点 A 的坐标为2，12或 2，12.
