1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.学 习 目 标核 心 素 养1了解空间向量基本定理及其意义2掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(难点)3掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(重点)1通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养2借助基底的判断及应用、空间向量的坐标运算，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养1空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxay bzc其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定
2、理中实数组x，y，z是否唯一？提示(1)不能因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面(2)唯一确定2空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z)1设i，j，k是单位正交基底，已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4
3、)，其中aij，bjk，cki，则向量p在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10)B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)A依题意，知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐标是(12,14,10)2已知向量a，b，c是空间一个基底，则一定可以与向量pab，qab构成空间另一个基底的是()Aa BbCc DacCp，q与a，b共面，ac是一个数量只有c不与p，q共面3设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_a(4，8,3)b(2，3,7
4、)由题意知a(4，8，3)，b(2，3,7)4在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于的表达式中：；()正确的个数有_个3，不正确；()()，正确；明显正确基底的判断【例1】(1)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间一个基底的向量组有()A1个 B2个C3个 D4个(2)已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底(1)C如图所示，令a，b，c，则x，y，z，abc由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z
5、也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面，故选C(2)解：假设，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使xy成立，e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3此方程组无解即不存在实数x，y使得xy，所以，不共面所以，能作为空间的一个基底基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.假设ab c，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，
6、则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.1若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为空间的一个基底解假设ab，bc，ca共面，则存在实数，使得ab(bc)(ca)，即abab()ca，b，c是空间的一个基底，a，b，c不共面此方程组无解即不存在实数，使得ab(bc)(ca)，ab，bc，ca不共面故ab，bc，ca能作为空间的一个基底用基底表示向量【例2】如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，思路探究：解连接BO，则()(cba)abc()abc()ac(cb)abca1本题考查空
7、间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底a，b，c，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止2基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘2点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，则满足xyz的实数x，y，z的值分别为()A， B，C， D，D如图所示，取PC的中点E，连接NE，则()()，比较知x，y，z，
8、故选D空间向量的坐标表示探究问题1在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？提示分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示2若(a，b，c)，则的坐标是多少？提示(a，b，c)【例3】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，的坐标思路探究：以点C为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，分别用，表示出来，再写出它们的坐
9、标解法一：由题意知CC1AC，CC1BC，ACBC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，的坐标为(1，1,1)，而，的坐标为(1，1,2)又，的坐标为(1,1，2)法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，(1，1,1)，(1，1,2)，(1,1，2)用坐标表示空间向量的步骤3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，的坐标解(1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2
10、,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)所以(2，1，1)，(2，1，2)，(0,2，1)1基底中不能有零向量因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量2空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标3用基底表示空间
11、向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示1O，A，B，C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A，共线B，共线C，共线 DO，A，B，C四点共面D由题意知，向量，共面，从而O，A，B，C四点共面2设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A BC DA如图，由已知1()()()()，从而xyz3三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，为基底，则的坐标为_()()，故4如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标解因为PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，所以，是两两垂直的单位向量设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz因为()()e2e3，所以
