1、第5节 直线、平面垂直的判定与性质考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理 任意1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面内的_直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线_ _ ab两条相交直线lalbab平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上
2、的_所成的_叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)范围：_.射影锐角直角0，23.二面角(1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0，.两个半平面垂直于棱4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经
3、过另一个平面的一条_，则这两个平面互相垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面 _ _l直二面角垂线ll交线alal常用结论与微点提醒 1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.3.三种垂直关系的转化 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，
4、则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()解析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第二册P162T3改编)设
5、，为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 依题意，由l，l，可以推出；反过来，由，l不能推出l，因此“l”是“”成立的充分不必要条件，故选A.答案 A 3.(老教材必修2P67练习T2改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPBPC，所以OAOBOC，即O为ABC的外心.图1(2)如图2，延长A
6、O，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PCPA，PBPC，PAPBP，所以PC平面PAB，又 AB平 面 PAB，所 以 PCAB，因为 POAB，POPCP，所以AB平面PGC，又CG平面PGC，所以ABCG，即CG为ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心.图2 答案(1)外(2)垂 4.(2019安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且mB.mn且n C.mn且nD.mn且 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案 C 5.(20
7、20湖南湘东南五校联考)已知两个平面垂直，有下列命题：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是()A.3B.2C.1D.0 解析 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，BD平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故错；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，l是平 面ADD1A1内任意一条直线，l与平面ABCD内和AB平行的
8、所有直线垂直，故正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故错；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，且平面ADD1A1平面ABCDAD，过交线AD上的任一点作交线的垂线l，则l可能与平面ABCD垂直，也可能与平面ABCD不垂直，故错.故选C.答案 C 6.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1B.A1EBD C.A1EBC1D.A1EAC 解析 如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC
9、1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案 C(1)求证：AB平面ADE.(2)求该五面体的体积.考点一 线面垂直的判定与性质【例 1】(2019广州一模)在五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形，CD2DE2AD2AB4，AC2 5，EAD30.(1)证明 因为在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，所以EFCD，CDDE.因为EF平面ABCD，CD平面ABCD，所以EF平面ABCD.因为EF平面ABFE，平面ABFE平面ABCDAB，所以EFAB.又EFCD，所以CDAB.因为 CD4，AD2，A
10、C2 5，AD2CD2AC2，所以CDAD.又因为CDDE，ADDED，AD，DE平面ADE，所以CD平面ADE.又CDAB，所以AB平面ADE.(2)解 因为EAD30，ADDE2，所以ADE120，则 SADE1222 32 3.如图，延长 AB 到 G，使得 ABBG，连接 GF，GC，则 SGCFSADE 3，所以 VGCFADE 344 3，VBGCF13 322 33，所以 VABCDEFVGCFADEVBGCF4 32 33 10 33.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面
11、垂直的性质(，a，la，ll).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.【训练1】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.
12、又PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.考点二 面面垂直的判定与性质【例 2】(2020江西百所名校模拟)如图，几何体是由半个圆柱及14个圆柱拼接而成，其中 G，H 分别为CD 与AB的中点，四边形 ABCD 为正方形.(1)证明：平面 DFB平面 GCBH；(2)若 AB2 2，求三棱锥 EABG 的体积.(1)证明 由题意知ABF4，因为 H 为AB的中点，所以ABH4，故HBF2，即 BFBH.又因为BC平面ABF，BF平面ABF，所以BCBF，又因为BC
13、BHB，所以BF平面GCBH，因为BF平面DFB，所以平面DFB平面GCBH.(2)解 连接AH，AE，BE，EG，FH，如图所示，由图知，几何体的体积是VEABGVAEFHGVBEFHGVFABEVHABGVAEFHGVBEFHGVEABFVGABH，因为 AB2 2，所以 BF4，BH2，由(1)知 BFBH，所以 FH 42222 5，过点A，B分别作FH的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1平面EFHG，BB1平面EFHG.计算得 AA1AFAHsin 34FH2 55，BB1BHBFFH 4 55，所以 VAEFHGVBEFHG132 22 52 55 4 558 2，又 VEABF
14、13122 22 22 28 23，VGABH1312222 24 23，所以 VEABG8 28 23 4 23 4 2.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练 2】(2019长沙模拟)在多面体 CABDE 中，ABC 为等边三角形，四边形ABDE 为菱形，平面 ABC平面 ABDE，AB2，DBA3.(1)求证：ABCD；(2)求点B到平面CDE的距离.(1)证明 如图，取AB的中点O，连接CO，DO，DA.ABC为等边
15、三角形，COAB.四边形 ABDE 为菱形，DBA3，DAB为等边三角形，DOAB.又CODOO，AB平面DOC.DC平面DOC，ABCD.(2)解 平面ABDE平面ABC，COAB，平面ABDE平面ABCAB，CO平面ABC，CO平面ABDE.OD平面ABDE，COOD.AB2，O为AB的中点，BO1.在 RtCOD 中，ODOC 3，CD OD2OC2 6.由(1)得ABCD，又EDAB，EDDC，SCDE12CDED12 62 6.由题意可得 SBDE1222sin 120 3.设点 B 到平面 CDE 的距离为 h.由 VBCDEVCBDE，得13SCDEh13SBDECO，即13 6
16、h13 3 3，解得 h 62.故点 B 到平面 CDE 的距离为 62.考点三 平行与垂直的综合问题 多维探究 角度1 多面体中平行与垂直关系的证明【例31】(2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面
17、ABCD，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以 FGBC，FG12BC.因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，所以 DEBC，DE12BC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂
18、直的性质及判定的综合应用.角度2 空间位置关系与几何体的度量计算【例32】(2019浙江卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点.(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.(1)证明 如图，连接A1E.因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，又BC平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，ABC90，故BCA1F.又A1EA1FA1，A1E，A1F平
19、面A1EF，所以BC平面A1EF.又EF平面A1EF，因此EFBC.(2)解 如图，取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形.由于A1E平面ABC，EG平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC平面EGFA1，又BC平面A1BC，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于点O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设 AC4，则在 RtA1EG 中，A1E2 3，EG 3.由于 O 为 A1G 的中点，故 EOOGA1G2 152，所以 cos EOGEO2OG2EG22
20、EOOG35.因此，直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值是35.规律方法 利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：定义法；垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.【训练3】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG.(2)求二面角PAD
21、C的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明 因为PDPC且点E为CD的中点，所以PEDC.又平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，又FG平面ABCD，所以PEFG.(2)解 由(1)知PE平面ABCD，PEAD，又ADCD，PECDE，AD平面PDC，又PD平面PDC，ADPD，PDC为二面角PADC的平面角，在RtPDE中，PD4，DE3，PE 169 7，tanPDCPEDE 73.故二面角 PADC 的正切值为 73.(3)解 如图，连接AC，AF2FB，CG2GB，ACFG.直线PA与FG所成角即直线PA与AC
22、所成角PAC.在RtPDA中，PA2AD2PD225，PA5.又PC4.AC2CD2AD236945，AC3 5.又 cosPACPA2AC2PC22PAAC254516253 5 9 525.所以直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为9 525.直观想象立体几何中的动态问题 1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹.【例 1】在正方体 ABCD
23、A1B1C1D1 中，点 M、N 分别是直线 CD、AB 上的动点，点 P 是A1C1D 内的动点(不包括边界)，记直线 D1P 与 MN 所成角为，若 的最小值为3，则点 P 的轨迹是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分 答案 B 解析 把 MN 平移到平面 A1B1C1D1中，直线 D1P 与 MN 所成角为，直线 D1P 与MN 所成角的最小值是直线 D1P 与平面 A1B1C1D1 所成角，即原问题转化为：直线D1P 与平面 A1B1C1D1所成角为3，点 P 在平面 A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点 P 是A1C1D 内的动点(不包括边界
24、)，所以点 P 的轨迹是椭圆的一部分.故选 B.【例2】如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数yf(x)的图象是()解析 过M作MNAB，交AB于N，则MN平面ABCD，过N作NQAD，交CD于Q，过Q作QHPD，交PC于H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面，由题意得2x2 MN4，解得 MN42x，由CQCDQHPD.即2x2 QH2 5，解得 QH 5(2x)，NE2(2x)x，MHx.过 H 作 HENQ，在 RtHE
25、Q 中，EQ HQ2HE22x，yf(x)（x2）（42x）2x24(0 x2).函数 yf(x)的图象如图.故选 C.答案 C【例 3】如图，在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，E、F 分别为直线 AB、CD 上的动点，且 EF 3.若记 EF 中点 P 的轨迹为 L，则|L|等于_(注：|L|表示 L的测度，在本题，L 为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积).答案 解析 如图，当 E 为 AB 中点时，F 分别在 C，D 处，满足 EF 3，此时 EF 的中点 P 在 EC，ED 的中点 P1，P2 的位置上；当 F 为 CD中点时，E 分别在 A，B 处，满足 EF 3，此时 EF 的中点 P 在 BF，AF 的中点 P3，P4 的位置上，连接 P1P2，P3P4 相交于点 O，则四点 P1，P2，P3，P4 共圆，圆心为 O，圆的半径为12，则 EF 中点 P 的轨迹 L为以 O 为圆心，以12为半径的圆，其测度|L|212.
