1、2016-2017学年广东省江门二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）=sin2xBf（x）=xexCf（x）=x3xDf（x）=x+lnx2曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）Ay=x+1By=2x+1Cy=2x1Dy=2x+13函数y=2x33x212x+5在区间0，3上最大值与最小值分别是（）A5，15B5，4C4，15D5，164抛物线y=x2上一点到直线2xy4=0的距离最短的点的坐标是（）A（1，1）B（）CD（2，4）5设双曲线的焦距为，一条渐近线方程为，则此双曲
2、线的方程为（）ABC6x2y2=1D6若函数f（x）=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A0b1Bb1Cb0Db7用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）A1B2C3D48如图，已知F1，F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）ABCD9如图所示程序运行的结果是（）A210，11B200，9C210，9D200，1110如图是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象，下列说法错误的是（）A2是函数y=f（x）的极小值点B1是函数y=f（x）的极值点Cy=f（
3、x）在x=0处切线的斜率大于零Dy=f（x）在区间（2，2）上单调递增11某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B67.7万元C65.5万元D72.0万元12已知函数f（x）=ex+x2x，若对任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|k恒成立，则k的取值范围是（）Ae1，+）Be，+）Ce+1，+）D1，+）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13若函数在（1，+）上是增函数，则实数k的取值范围是14从抛物线y2=4x
4、上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|=5，则MPF的面积为15如图所示，在圆心角为90的扇形AOB中，以圆心O作为起点作射线OC，OD，则使AOC+BOD45的概率为16设函数f（x）=ax33x+1（xR），若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为三、解答题（17小题10分，18-22小题12分）17设f（x）=alnx+x+1，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴（）求a的值；（）求函数f（x）的极值18椭圆方程为=1（ab0）的一个顶点为A（0，2），离心率e= （1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆相交于不同的两点M，
5、N且P（2，1）为MN中点，求直线l的方程19某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄段在10，60的人生活习惯是否符合环保理念进行调查现随机抽取n人进行数据分析，得到如下频率分布表和频率分布直方图：（1）求出频率分布表中n，x，y的值（2）现从第三、四、五组中，采用分层抽样法抽取12人参加户外环保体验活动，则从这三组中应各抽取多少人？组数分组人数频率第一组10，20）5第二组20，30）x第三组30，40）第四组40，50）y第五组50，60合计n20一盒有10张奖券，其中2张是有奖的，先由甲后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率（2）甲、乙都中奖的概率（3）甲、乙至少有一个中奖的概率21已知抛
6、物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（）若，求直线AB的斜率；（）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值22已知函数（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x（0，e时，求函数f（x）的最小值；（3）求证：2016-2017学年广东省江门二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）=sin2xBf（x）=xexCf（x）=x3xDf（x）=x+lnx【考点】函数单调性的判断与证明【分析】A中f（x）=s
7、in2x在（0，+）上无单调性；B中，利用导数判定f（x）=xex在（0，+）上是增函数；C中，利用导数判定f（x）=x3x在（0，）上是减函数，在（，+）上是增函数；D中，利用导数判定f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数【解答】解：对于A，f（x）=sin2x是周期函数，在（0，+）上无单调性，不满足题意；对于B，f（x）=xex，f（x）=（1+x）ex，当x（0，+）时，f（x）0，f（x）在（0，+）上是增函数；对于C，f（x）=x3x，f（x）=3x21，当x（0，）时，f（x）0，f（x）是减函数；x（，+）时，f（x）0，f（x）是增函数；不满足题意；对于D，f
8、（x）=x+lnx，f（x）=1+=，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）是增函数，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）是减函数，不满足题意综上，在（0，+）上为增函数的是B故选：B2曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）Ay=x+1By=2x+1Cy=2x1Dy=2x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程【解答】解：由于y=e2x，可得y=2e2x，令x=0，可得y=2，曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y1=2x，即y=2x+1故选：D3函数y=2x33x212x+5在区间0，3上最大值与最小值分别是（）A5，
9、15B5，4C4，15D5，16【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】对函数y=2x33x212x+5求导，利用导数研究函数在区间0，3上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间0，3上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y=6x26x12令y0，解得x2或x1故函数y=2x33x212x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=15，y（3）=4故函数y=2x33x212x+5在区间0，3上最大值与最小值分别是5，15故选A4抛物线y=x2上一点到直线2xy4=0的距离最短的点的坐标是（）A（1，1）B（）CD（2，4）【考点】抛物线的简单性质【分析】设
10、抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2xy4=0的距离d=，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2xy4=0的距离最短的点的坐标【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2xy4=0的距离d=，当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2xy4=0的距离最短故选A5设双曲线的焦距为，一条渐近线方程为，则此双曲线的方程为（）ABC6x2y2=1D【考点】双曲线的标准方程【分析】由题意可得m2+n2=，联立解之即可【解答】解：由题意可得m2+n2=，又双曲线的渐近线为y=，故可得，综合可得m=，n=，即，故方程为，即，故选D6若函数
11、f（x）=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A0b1Bb1Cb0Db【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上令f（x）=3x23b=0，得x2=b，显然b0，x=又x（0，1），010b1故选A7用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）A1B2C3D4【考点】用辗转相除计算最大公约数【分析】用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，又得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数
12、的最大公约数，从而得到需要做除法的次数【解答】解：29484=342，8442=2，用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数2故选：B8如图，已知F1，F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】连接OQ，PF1，先利用三角形中位线定理证明OQPF1，OQ=PF1，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径PF1=2b，再利用椭圆的定义，得PF2=2a2b，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明PF1PF2，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等
13、式，进而计算离心率即可【解答】解：如图：连接OQ，PF1，点Q为线段PF2的中点，OQPF1，OQ=PF1，PF1=2OQ=2b，由椭圆定义，PF1+PF2=2a，PF2=2a2b线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，OQPF2，PF1PF2，且|F1F2|=2c，（2b）2+（2a2b）2=（2c）2即3b=2a，5a2=9c2，e=故选 B9如图所示程序运行的结果是（）A210，11B200，9C210，9D200，11【考点】伪代码【分析】根据题意，模拟算法程序的运行过程，即可得出该程序运行输出的是什么【解答】解：模拟该算法程序的运行过程，得出该程序运行输出的是X=100+10i，当
14、X=200时，i=10，此时i+1=11；输出的结果是200，11故选：D10如图是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象，下列说法错误的是（）A2是函数y=f（x）的极小值点B1是函数y=f（x）的极值点Cy=f（x）在x=0处切线的斜率大于零Dy=f（x）在区间（2，2）上单调递增【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由导函数y=f（x）的图象与导数的几何意义即可对A，B，C，D逐个判断，得到答案【解答】解：由导函数y=f（x）的图象知，当x2时，导函数y=f（x）0，函数y=f（x）在区间（，2）上单调递减；当x2时，导函数y=f（x）0，函数y=f（
15、x）在区间（2，+）上单调递增；故当x=2时，函数y=f（x）取得极小值，即2是函数y=f（x）的极小值点，A正确；对于选项B，x=1左右两侧的导数符号均为正，故1不是函数y=f（x）的极值点，故B错误；对于选项C，由图知，f（0）0，由导数的几何意义知y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故C正确；由图知，当x（2，2）时，f（x）0，故y=f（x）在区间（2，2）上单调递增，D正确综上所述，B错误故选B11某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）
16、A63.6万元B67.7万元C65.5万元D72.0万元【考点】线性回归方程【分析】根据表中所给的数据，广告费用x与销售额y（万元）的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出的值，写出线性回归方程将x=6代入回归直线方程，得y，可以预报广告费用为6万元时销售额【解答】解：由表中数据得： =3.5， =42，又回归方程=x+中的为9.4，故=429.43.5=9.1，=9.4x+9.1将x=6代入回归直线方程，得y=9.46+9.1=65.5（万元）此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）故选：C12已知函数f（x）=ex+x2x，若对任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|
17、k恒成立，则k的取值范围是（）Ae1，+）Be，+）Ce+1，+）D1，+）【考点】函数恒成立问题【分析】函数f（x）=ex+x2x对任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|k恒成立，等价于f（x）=ex+x2x在1，1内的最大值与最小值的差小于等于k【解答】解：f（x）=ex+x2x，f（x）=ex+2x1，由f（x）=ex+2x1=0，得x=0又f（x）单调递增，可知f（x）=0有唯一零点0，f（1）=+2，f（1）=e，f（0）=1函数f（x）=ex+x2x在1，1内的最大值是e，最小值是1函数f（x）=ex+x2x，对任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|e1函数f（x）
18、=ex+x2x对任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|k恒成立，ke1k的取值范围为e1，+）故选：A二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13若函数在（1，+）上是增函数，则实数k的取值范围是2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先对函数h（x）求导，令导函数大于等于0在（1，+）上恒成立即可求出答案【解答】解：h（x）=2+因为函数h（x）在（1，+）上是增函数，所以h（x）=2+0在（1，+）上恒成立即k2x2在（1，+）上恒成立k2故答案为：2，+）14从抛物线y2=4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|=5，则MPF的面积为1
19、0【考点】抛物线的简单性质【分析】设出P的坐标，利用抛物线的定义可知|PF|=|PM|进而可求得y0，最后利用三角性的面积公式求得答案【解答】解：由题意，设P（，y0），则|PF|=|PM|=+1=5，所以y0=4，SMPF=|PM|y0|=10故答案为：1015如图所示，在圆心角为90的扇形AOB中，以圆心O作为起点作射线OC，OD，则使AOC+BOD45的概率为【考点】几何概型【分析】设A0C=x，BOD=y，建立夹角之间的关系，作出对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：设A0C=x，BOD=y，则0x，0y，若AOC+BOD45，即x+y，作出对应的平面区域如图：
20、则F（0，），G（，0），则oFG的面积S=，则正方形的面积S=，则AOC+BOD45的概率为=，故答案为：16设函数f（x）=ax33x+1（xR），若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】先求出f（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x1，1都有f（x）0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围【解答】解：由题意，f（x）=3ax23，当a0时3ax230，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）0即可，解得a2，与已知矛盾，当a0时，令f（x）=3ax23=0解得x=，当x时，f（x）0，
21、f（x）为递增函数，当x时，f（x）0，f（x）为递减函数，当x时，f（x）为递增函数所以f（）0，且f（1）0，且f（1）0即可由f（）0，即a3+10，解得a4，由f（1）0，可得a4，由f（1）0解得2a4，综上a=4为所求故答案为：4三、解答题（17小题10分，18-22小题12分）17设f（x）=alnx+x+1，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴（）求a的值；（）求函数f（x）的极值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（） 求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴，可得f（1）=0，从而可求a的
22、值；（） 由（）知，（x0），=，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值【解答】解：（） 求导函数可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴f（1）=0，a=1；（） 由（）知，（x0）=令f（x）=0，可得x=1或x=（舍去）0x1时，f（x）0，函数递减；x1时，f（x）0，函数递增x=1时，函数f（x）取得极小值为318椭圆方程为=1（ab0）的一个顶点为A（0，2），离心率e= （1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆相交于不同的两点M，N且P（2，1）为MN中点，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）先确定b=2，再结合离心率，即可
23、求椭圆的方程；（2）设出M，N的坐标，利用点差法，求得直线的斜率，即可求直线l的方程【解答】解：（1）椭圆方程为=1（ab0）的一个顶点为A（0，2），b=2e=和联立上述方程可以解得a=2椭圆的方程为+=1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，结合P（2，1）为MN中点，可得=直线l的方程为y1=（x2），即2x+3y7=019某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄段在10，60的人生活习惯是否符合环保理念进行调查现随机抽取n人进行数据分析，得到如下频率分布表和频率分布直方图：（1）求出频率分布表中n，x，y的值（2）现从第三、四、五组中，采用分层抽样法抽取12人参加户外
24、环保体验活动，则从这三组中应各抽取多少人？组数分组人数频率第一组10，20）5第二组20，30）x第三组30，40）第四组40，50）y第五组50，60合计n【考点】频率分布直方图；分层抽样方法【分析】（1）由题意及频率分布直方图，根据第一组的频数和频率以及公式频率=，即可求得样本容量n的值，根据频率等于相应小矩形的面积即可求得x的值，同理即可求得y的值；（2）根据分层抽样的特点，即按比例抽取，即可求得相应的答案【解答】解：（1）由条件可知，第一组的频率为0.00510=0.05，根据频率=，0.05=，即，第二组的频率为x=0.03510=0.35，第四组的频率为0.0210=0.2，则根据
25、频率=，第四组的频数y=1000.2=20（2）第三组的人数为0.3100=30，第四组的人数为0.2100=20，第五组的人数为0.1100=10，则三组人数共计60人，根据分层抽样即按比例抽取，从中抽取12人每组应抽取的人数为：第三组（人），第四组（人），第五组（人），第三组，第四组，第五组应分别抽取6人，4人，2人20一盒有10张奖券，其中2张是有奖的，先由甲后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率（2）甲、乙都中奖的概率（3）甲、乙至少有一个中奖的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】（1）利用等可能事件概率计算公式能求出甲中奖的概率（2）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙都
26、中奖的概率（3）利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙至少有一个中奖的概率【解答】解：（1）一盒有10张奖券，其中2张是有奖的，先由甲后由乙各抽一张，设“甲中奖”为事件A，甲中奖的概率为（2）设“甲、乙都中奖”为事件B，甲、乙都中奖的概率（3）设“甲、乙至少有一人中奖”为事件C，甲、乙至少有一个中奖的概率：21已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（）若，求直线AB的斜率；（）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率【分析】（）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1将直线AB的方程
27、与抛物线的方程联立，得y24my4=0由此能够求出直线AB的斜率（）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB由此能求出四边形OACB的面积最小值【解答】（本小题满分13分）（）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my4=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 y1+y2=4m，y1y2=4 因为，所以 y1=2y2 联立和，消去y1，y2，得 所以直线AB的斜率是 （）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C
28、到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB 因为=，所以 m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4 22已知函数（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x（0，e时，求函数f（x）的最小值；（3）求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）a=1时，在定义域内解不等式f（x）0，f（x）0即可；（2）分情况进行讨论：a0时易判断单调性，由单调性可得最小值；a0时，按照极值点与区间（0，e的位置关系再分两种情况讨论，由单调性可求；（3）对（1+）ne（1+）n+1两边取对数，可整理为ln（1
29、+），令x=1+，只要证1lnxx1，（1x2），左边不等式可由（1）问结论得到；右边不等式通过构造函数利用导数可证明【解答】解：（1）（x0），当a=1时，令f（x）=0，得x=1，当x变化时，f（x），f（x）变化如下：x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）递减极小值递增所以f（x）的单调增区间为（1，+），单调减区间为（0，1）；（2）当a0时，f（x）0，f（x）在（0，e上递减，当时，即时，f（x）0，f（x）在（0，e上递减，当时，即时，当x变化时，f（x），f（x）变化如下：x（0，）（，e）f（x）0+f（x）递减极小值递增所以ymin=f（）=a+aln，综上，；（3）对两边取对数得，即，只需证，令，只需证，证明如下：由（1）知 a=1时，的最小值为f（1），所以，即，又因为1x2，上式等号取不到，所以，令g（x）=xlnx1（1x2），则，g（x）在1x2上是增函数，g（x）g（1）=0，综合得，即所以原命题得证2017年4月20日
