15 抛物线例1已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点处的切线与平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由解：（）如图，设，把代入得，xAy112MNBO由韦达定理得，点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，即（）假设存在实数，使，则，又是的中点，由（）知轴，又 ，解得即存在，使例2. 如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点ABCPQO如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由（4分）xyl（1）若，求的值； （2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由 解：（1）设直线的方程为，将该方程代入得令，则因为，解得，或（舍去）故（2）由题意知，直线的斜率为又的导数为，所以点处切线的斜率为，因此，为该抛物线的切线（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设若为该抛物线的切线，则，又直线的斜率为，所以，得，因，有故点的横坐标为，即点是线段的中点
