1、3.3.2利用导数研究函数的极值课时过关能力提升1.在下面函数y=f(x)图象中既是函数的极大值点又是最大值点的是()A.x1B.x2C.x3D.x4答案:C2.在上题的函数图象中,是f(x)=0的根但不是函数f(x)的极值点的是()A.x0B.x2C.x3D.x4答案:A3.函数y=x2+2x的极小值为()A.-2B.-1C.0D.1答案:B4.函数f(x)=xln x在1,e上的最小值和最大值分别为()A.0,eln eB.-1e,0C.-1e,eD.0,e解析:f(x)=ln x+1.当1xe时,f(x)=ln x+10,故f(x)=xln x在1,e上是增函数.因此,当x=1时,f(x
2、)取得最小值0;当x=e时,f(x)取得最大值e.答案:D5.若函数f(x)=x3-3x-a在区间0,3上的最大值、最小值分别为M,N,则M-N的值为()A.2B.4C.18D.20解析:令f(x)=3x2-3=3(x2-1)=0,得x=1,又x0,3,x=1.则x(0,1)时,f(x)0.又f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a,M=18-a,N=-2-a,M-N=20.答案:D6.关于函数f(x)=x3-3x2,给出下列四个命题:f(x)是增函数,无极值;f(x)是减函数,无极值;f(x)单调递增区间是(-,0)和(2,+),单调递减区间是(0,2);f(x)在x=0处取得
3、极大值0,在x=2处取得极小值-4.其中正确命题是.(填序号)答案:7.已知函数f(x)=2x3+3(a+2)x2+3ax的两个极值点为x1,x2,且x1x2=2,则a=.解析:f(x)=6x2+6(a+2)x+3a.x1,x2是f(x)的两个极值点,f(x1)=f(x2)=0,即x1,x2是6x2+6(a+2)x+3a=0的两个根,从而x1x2=3a6=2,a=4.答案:48.已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是.解析:f(x)=3x2+6ax+3(a+2).令f(x)=0,即x2+2ax+a+2=0.f(x)既有极大值又有极小值,f
4、(x)=0有两个不相同的实数根.=4a2-4(a+2)0.解得a2或a-1.答案:a29.求曲线f(x)=12x2+4ln x上切线斜率的极小值点.分析:先求曲线f(x)上的切线的斜率,即函数f(x)的导数f(x),再求f(x)的极小值.解:函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=x+4x.令h(x)=x+4x,则h(x)=1-4x2.当0x2时,h(x)2时,h(x)0,h(x)在(2,+)内是增函数.所以h(x)在x=2处取得极小值,且h(2)=4,故曲线f(x)=12x2+4ln x上切线斜率的极小值点为2.10.设函数f(x)=sin x-cos x+x+1,0x2,求函数f(x)的单调区间与极值.分析:按照求函数极值的步骤求解即可.解:由f(x)=sin x-cos x+x+1,0x2,知f(x)=cos x+sin x+1,于是f(x)=1+2sinx+4.令f(x)=0,从而sinx+4=-22,得x=或x=32.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,),323232,2f(x)+0-0+f(x)极大值+2极小值32因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,)和32,2,单调递减区间是,32,极小值为f32=32,极大值为f()=+2.
