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湖北省2012高考数学压轴题 15 抛物线.doc

15 抛物线例1已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点()证明:抛物线在点处的切线与平行;()是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由解:()如图,设,把代入得,xAy112MNBO由韦达定理得,点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为,将代入上式得,直线与抛物线相切,即()假设存在实数,使,则,又是的中点,由()知轴,又 ,解得即存在,使例2. 如图,在平面直角坐标系中,过轴正方向上一点任作一直线,与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线,分别与线段和直线交于点ABCPQO如图,在平面直角坐标系中,过轴正方向上一点任作一直线,与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线,分别与线段和直线交于点(1)若,求的值;(5分)(2)若为线段的中点,求证:为此抛物线的切线;(5分)(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由(4分)xyl(1)若,求的值; (2)若为线段的中点,求证:为此抛物线的切线; (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由 解:(1)设直线的方程为,将该方程代入得令,则因为,解得,或(舍去)故(2)由题意知,直线的斜率为又的导数为,所以点处切线的斜率为,因此,为该抛物线的切线(3)(2)的逆命题成立,证明如下:设若为该抛物线的切线,则,又直线的斜率为,所以,得,因,有故点的横坐标为,即点是线段的中点

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