1、九下第2章 二次函数知识清单一、二次函数的概念1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.注意：二次项系数，而可以为零二次函数的自变量的取值范围是全体实数2.二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的图象1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛
2、物线开口向下.3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下.4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点.三、二次函数的图象与系数的关系二次函数（）的系数与图象的关系（1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，；（2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号；（3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交四、二次函数的图象与几何变换1.二
3、次函数的平移（1） 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”2.二次函数图象的对称（1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；（2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；（3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是根据
4、对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式五、 二次函数的解析式1.二次函数解析式的表示方法（1） 一般式：（，为常数，）；（2） 顶点式：（，为常数，）；（3） 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交
5、点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：（1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式六、二次函数的开口方向、对称轴、顶点函数（）（）图象的开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标七、二次函数的增减性函数（）（）增减性当时，随的增大而减小；当时，随
6、的增大而增大；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 二次函数的最值函数（）（）最值当时，有最小值，无最大值；当时，有最大值，无最小值.八、二次函数与一元二次方程二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数yax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.九、二次函数与轴交点情况对于二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）b24ac决定抛物线与x轴的交点个数：b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点.
