1、7.利用平移思想构造辅助线1.已知：如图，中，点分别在边上，交于，是的中点，交于，求证：答案：见解析解析：连接，又，延长至，使，连接，则四边形是平行四边形，2.已知：如图，在中，分别以为边，向外作正方形和正方形，连接，延长交于（1）若 ，求的长；（2）求证：解析：（1）解：设，则，（舍去负值）（2）证明：过作，交延长线于，连接，又，又，四边形是平行四边形，3.已知点是内一点，满足，以为邻边作平行四边形，求证：答案：见解析解析：以为邻边作平行四边形，连接交于，连接则，四边形是平行四边形，又，又，4.在中，分别为延长线上的点，与的交点为（1）若，在图1中画出符合题意的图形，直接写出的度数；（2）若
2、，求的度数（利用图2作答）解析：（1）如图1，说明：将平移到，连接，EF则四边形是平行四边形又在中，又（2）解法一：如图2，将平移到，连接，EF则四边形是平行四边形，在中， 解法二：如图3，将平移到，连接，则四边形是平行四边形，四边形是矩形，在中， 在中，即又 ，5.（1）在一个矩形纸片上按照图1的方式剪下，其中，将沿着直线的方向依次进行平移变换，每次均移动的长度，得到了、和（如图2），已知，长为现以、和为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于，求可能的最大整数值；（2）如图3，已知，请利用图形变换探究与 的大小关系解析：（1）分别取的中点，连接、中，由平移变换的性质知、和都是等腰三角
3、形，在中，新三角形三边长为、，新三角形为直角三角形，其面积为，（或通过转换得新三角形三边就是，即求的面积，或利用与相似，求的面积也可）的最大整数值为（2）将沿方向平移个单位，得到，将沿方向平移个单位，得到， 又，是等边三角形，三点共线6.如图，已知（1）请你在边上分别取两点、（的中点除外），连结、，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明.答案：见解析解析：解：（1）如图,；和，和；（2）证法一：如图，分别过点作的平行线，两线相交于点，于交于点；所以，在和中，又，可证，所以，在中，在中，所以,所以,即，所以.证法二：
4、如图，分别过作的平行线，两线相交于点，于交于点，连结，则四边形是平行四边形。所以，因为，所以所以四边形是平行四边形。所以在中，；在中，可推得：所以.证法三：如图4，取的中点，连结并延长到点，使得，连结、，延长交于点，在和中，又，可证：所以因为，所以，同理可证所以在中，在中，可推得，即,所以 7.现场学习：我们知道，若锐角的三角函数值为，则可通过计算器得到角的大小，这时我们用来表示，记作：；若，则记；若，则记解决问题：如图，已知正方形，点是边上一动点，点在边或其延长线上，点在边上连结，交点为（1）如图1，若，请直接写出 ；（2）如图2，若，设请判断当点在上运动时，的大小是否发生变化？若发生变化，
5、请说明理由；若不发生变化，请求出解析：（1）连接正方形又三角形为直角三角形，且又（2）答：不会变化.证明：如图2，过点作交于,连接. 正方形中，, 四边形为平行四边形.，.，,.，.在中, 8.已知矩形和点，当点在上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：（1）当点分别在图（2）中的位置时，和又有怎样的数量关系？请你写出对上述情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论（2）当点分别在图（3）中的位置时，和又有怎样的数量关系？请你写出对上述情况的探究结论，并利用图（3）证明你的结论（3）请问在图（3），与三者之间的关系，并证明解析：（1）结论是方法一：如图2过点作于点，交于点，因为
6、，所以在中，在中，在中，在中，所以因为，所以四边形是矩形所以，同理，所以即方法二：提示：过点作，连接、，则四边形对角线互相垂直，下面证明略（2）结论是证明：如图所示，过点作，过点作，过点作于点，连接。则四边形和四边形是平行四边形在中，在中，在中，在中，（3）结论：过点分别作于点，于点；9.在中，点为的中点（1）如图1，求证：；（2）延长到，使得，延长到，使得，连接如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系写出你的结论，并加以证明；请在图3中证明：答案：见解析解析：（1）证明：如图1，延长至，使得，连接，四边形是平行四边形在中，（2）证明：如图2，过作交于，连接，则，是等边三角形，是等边三角形 ，四边形是平行四边形点为的中点，三点在一条直线上，且在和中，分两种情况：）如图3，当时则，）如图4，当时以为一组邻边作平行四边形则，又，在中，即综上所述：10.在中，点分别在边上，且，点为的中点，连接，点为的中点，连接（1）如图1，求证：；（2）如图2，延长交于点，过点作交于点，若，求的长解析：（1）延长到，使，连接，为的中点，是等边三角形，四边形是平行四边形，（2）取中点，连接并延长到，使，连接，则四边形是平行四边形，又，又，由（1）知，又是公共角，设交于点，又，是等边三角形，又，又，
