1、扬州市2018-2019学年度第二学期期末检测试题高二数学（文科）一、填空题1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】表示的是属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，集合A，B已知，则可得交集。【详解】由题得.【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题。2.设复数满足（为虚数单位），则的虚部为_【答案】【解析】【分析】先根据已知求出z，然后可直接知道z的虚部。【详解】由题得z=-4+3i，故z的虚部为3.【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题。3.若幂函数的图像经过点，则_【答案】【解析】【分析】为幂函数，则有，图像经过点，代入幂函数可解得，确定，即可求出。【详解】由题得，解
2、得，故幂函数解析式为，则.【点睛】本题考查幂函数，属于基础题。4.已知角的终边经过点，且，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据题意可知直角坐标系内点的坐标表示的锐角三角函数，可直接求出y的值。【详解】由题得，解得.【点睛】本题考查任意角的三角函数，属于基础题。5.为定义在上的奇函数，且，则_【答案】【解析】【分析】根据已知将x=x+2代入等式可得，可知为周期T=4的周期函数，化简，再由奇函数的性质可得其值。【详解】由题得，则有，因为为定义在R上的奇函数，那么，则，故.【点睛】本题考查奇函数的性质和周期函数，属于常见考题。6.设，若复数在复平面内对应的点位于直线上，则_【答案】【解析】【分析】
3、先化简复数，由它在复平面内对应的点的位置可知其实部与虚部的关系为“”，则可求得复数中未知量a的值。【详解】由题得，再由其实部和虚部的关系可得，解得.【点睛】本题考查复数的几何意义及其代数形式的乘法运算，属于基础题。7.若直线与直线垂直，则实数的值为_【答案】或【解析】【分析】分两种情况进行讨论：1，当时，直线的斜率不存在，此时直线，垂直，满足题意；2，当时，若a=2，直线的斜率为，垂直于x轴，两条直线不垂直，故，此时斜率为，的斜率为，由两直线垂直，斜率乘积为-1可求得a的值。【详解】由题，当时，直线垂直于x轴，直线为垂直于y轴，垂直，满足题意；当时，若a=2，直线的斜率为，垂直于x轴，两条直线
4、不垂直，故，此时的斜率分别为和，两直线垂直，则有，解得，综上实数a的值为0或.【点睛】本题考查两直线位置关系，两直线垂直斜率关系为，此题要注意斜率不存在的情况。8.“”是“”的_条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要条件”、“充要”中选择填空）【答案】充分不必要【解析】分析】据题意“”解得，由此可判断它与“”的关系。【详解】由“”解得由题得“” “”，但“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件。【点睛】本题考查充分条件和必要条件，属于基础题。9.已知函数的图像上有一个最高点的坐标为，点是其一个相邻的最低点，则此函数解析式_【答案】【解析】【分析】由图确定，由可得，再根
5、据点计算出的值，即得解析式。【详解】由题得，点是函数的一个最低点可得，则，因为，所以，故函数解析式.【点睛】本题考查求函数的解析式，属于基础题。10.观察式子，则可归纳出_【答案】【解析】分析：根据已知中，分析左边式子中的数与右边式子中的数之间的关系，由此可以写出结论.详解：根据题意，每个不等式的右边的分母是，不等号的右边的分子是，所以，所以答案是.点睛：该题考查的是有关归纳推理的问题，在解题的过程中，需要认真分析式子中出现的量之间的关系，以及对应的式子的特点，得出结果.11.已知函数，则值域为_【答案】【解析】分析】先将函数化简整理，则，根据函数性质即可求得值域。【详解】由题得，令，构造函数
6、，求导得，则有当时，单调递减，当时，单调递增，t=1时，为的极小值，故由可得，又，则的值域为.【点睛】本题考查求三角函数的值域，运用了求导和换原的方法。12.已知直线过定点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为_【答案】【解析】【分析】先求定点，再根据两圆方程相减，即得直线AB的方程。【详解】整理直线方程可知定点，由题得直线所过的定点，圆C：，直线AB可以看作圆C与以AP为半径P为圆心的圆的交线，以AP为半径P为圆心的圆为，两圆做差后得，即为直线AB的方程。【点睛】本来考查直线和圆的位置关系，关键在于转化为求两圆的公共弦。13.设是上的单调函数，且对任意，都有，若是方程的一个解，且，
7、则的值为_【答案】【解析】【分析】先根据题意求函数解析式，再根据导数研究新函数性质，进而确定a的值。【详解】根据题意是上的单调函数，且在定义域内都有，则可知的值为一个常数C，即，故，解得，则函数解析式为，即，构造新函数，求导得，函数单调递增，因为，故，又，所以。【点睛】本题考查求函数原函数和用导函数判断函数单调性，根据函数根的范围确定参数值，运用了零点定理，有一定的难度。14.设函数的图像上存在两点，其中点在轴右侧，且线段与轴的交点恰好是线段靠近点的一个三等分点.若和斜率之和等于，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据设点，得点，再根据和斜率之和等于-3得 ，最后根据函数单调性确定a
8、的取值范围。【详解】由题P在y轴右侧，故设点，点，则OP斜率为，OQ斜率为，再由OP和OQ斜率之和为-3可得，整理得，令， 则g(x)在上单调递增，故，那么a的取值范围是.【点睛】本题考查由两条直线的斜率关系求参数的取值范围，解题关键在于设出点的坐标来表示斜率，和用分离参变量的方法求其取值范围，有一定的综合性。二、解答题。15.已知复数，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将复数代入，令其实部为0，虚部不为0，可解得m，进而求出复数z；（2）先根据复数的除法法则计算w，再由公式计算w的模。【详解】解：（1）是纯虚数，且（2）.【点睛】本题考
9、查复数的概念和模以及复数代数形式的乘除运算，属于基础题。16.已知命题，使；命题，使.（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若p为假命题，可直接解得a的取值范围；（2）由题干可知p,q一真一假，分“p真q假”和“p假q真”两种情况讨论，即可得a的范围。【详解】解：（1）由命题P为假命题可得：，即，所以实数的取值范围是.（2）为真命题，为假命题，则一真一假.若为真命题，则有或，若为真命题，则有.则当真假时，则有当假真时，则有所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查根据命题的真假来求变量的取值范围，属于基础题，
10、判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。17.已知函数，的图像经过点且相邻两条对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式和单调减区间；（2）若将的图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的值域.【答案】（1）；单调减区间为，（2）【解析】【分析】（1） 先将已知函数进行整理可得，由相邻两条对称轴间的距离可知，函数经过点，代入再根据，可以解得，进而确定函数的解析式和单调区间；（2）的图像上所有点的横坐标变为原来的后，解析式为，再由可得h(x)的值域。【详解】解：（1），函数的单调减区间为，（2），【点睛】本题考查求函数的解析式，单调区间，图形的伸缩变换及
11、其值域，考点非常全面。18.某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）（1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式；（2）如何设计与的长度，使得最大？【答案】（1），（2）当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.【解析】【分析】（1）由矩形其外周长为毫米，设的长为毫米，可得AB的长度，再根据圆柱和球的体积公式即可求得防蚊液的体积关于的函数关系
12、式；（2）对（1）求得的函数关系式求导得，据此讨论函数单调性，根据函数单调性即可确定防毒液体积最大值。【详解】解：（1）由得，由得，所以防蚊液体积，（2）求导得，令得；令得，所以在上单调增，在上单调减，所以当时，有最大值，此时，答：当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.【点睛】本题是考查关于函数及其导数一道应用题，难度不大。19.已知圆，直线被圆截得的弦长为，且圆心在直线的下方.（1）求实数的值；（2）过点作圆的切线，求切线的方程；（3）已知点，为坐标原点，为圆上任意一点，在轴上是否存在异于点的点，使得为常数，若存在，求出点的坐标,不存在说明理由.【答案】（1）（2）或.（3）见解析【解析
13、】【分析】（1）由勾股定理，“圆心到直线距离的平方”等于“半径的平方”减去“二分之一弦长的平方”，可得关于a的方程，再根据圆心在直线l的下方，即可解得a的值；（2）由（1）得M的方程为，当直线m的斜率不存在时，m的方程为x=2，当直线m的斜率存在时，设直线为y=kx+b，满足，解方程组即可得到m的方程；（3）假设点存在，点，使得为常数，那么也成立，点Q在圆M上，可得方程组， 消去y整理得，对任意恒成立，可知满足，即可解得，从而确定B存在。【详解】解：（1）设圆心，由已知得点到直线的距离为.即，又点在直线的下方，（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程；直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b
14、，点P在直线m上，可得方程组，解得，整理得m方程为，综上所述，可得直线的方程为或.（3）假设存在这样的点，点，使得为常数，则即，又由得对任意恒成立，所以解得或（舍去）或（舍去）或（舍去）所以存在点，对于圆上任意一点都有为常数.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及满足条件的定点是否存在问题，有一定的综合性。20.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）已知，且恒成立，求的最大值；（3）若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小.【答案】（1）函数在区间上单调递减，在上单调递增.（2）最大值为.（3）【解析】【分析】（1）对函数求导得，令，对求导来确定单调性，进而确定的单调区间；（2）根据题意构造新
15、的函数恒成立，求导得，分情况进行讨论当时，恒成立，可得，当，讨论求得此时的值；（3）根据在上单调递增，在上单调递减，且，则必有，且成立，整理得，用换元法令，将其回（1）中的，可得，构造新函数，讨论起单调性以确定原函数单调性，进而得证。【详解】解：（1）由已知得，令，则由得，由，得所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.（2）若恒成立，即恒成立当时，恒成立，则；当时，增函数，由得，故，.当时，取最小值.依题意有，即，令，则，所以当，取最大值，故当时，取最大值.综上，若，则的最大值为.（3）法一：证明如下：设，所以，.令，所以，当且仅当时，等号成立，所以在上单调递增又，所以当时，即，不妨设，所以，又因为，所以，由于，所以，因为，由（1）知函数在区间上单调递减，所以，即.法二：证明：令记，则由（1）知，设，则，所以在上单调递减，故，而，所以【点睛】本题考查用导数求函数单调区间，函数的不等式恒成立情况下求参数最大值，以及根据两点处函数值相等比较两根之和与一个定值的大小，充分体现了导数研究函数单调性的重要性，对于复杂形式的函数运用了换原的方法，简化了解题步骤，是一道考查导数知识很全面的综合题，并且有一定的难度。
