1、河南省2021届高三毕业班阶段性测试（一）理科数学考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，则中元素的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知复数满足，则（ ）A. B. C
2、. D. 3. 已知平面向量，的夹角为，且，则（ ）A. 1B. C. 3D. 24. 已知，则（ ）A. B. C. D. 5. 从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为（ ）A. 40B. 60C. 100D. 1206. 九章算术商功中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体，随机在线段上取一点，过该点作垂直于的平面，则平面“解”正方体所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为（ ）A. B. C. D. 7. 的图象大致为（ ）
3、A. B. C. D. 8. 在中，且，则（ ）A. B. 1C. D. 9. 若，满足约束条件，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 10. 已知向量，则函数在上的所有零点之和为（ ）A. B. C. D. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，离心率为2，且经过点，点在上，则点到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 12. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 下表是，之间的一组数据：0123457819且关于的回归方程为，则表中的_.14. 已知，则_.15. 四面体中，当四面体的体积最大
4、时，其外接球的表面积是_.16. 抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 设等比数列的前项和为，若，且，成等差数列.（）求的通项公式；（）比较与的大小.18. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，.（）求证：；（）设，若，且二面角的余弦值为，求的值.19. 已知椭圆：，直线：过的右焦点.当时，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍.（）求椭圆的方程.（）设直线与椭圆交于，两点
5、，在轴上是否存在定点，使得当变化时，总有（为坐标原点）？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.20. 甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.（）求甲获得冠军的概率；（）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.21. 已知函数，其中是的导数.（）求的最值；（）证明：，.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
6、22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（）求圆的圆心的直角坐标和半径；（）已知直线交圆于，两点，点，求.23. 选修4-5：不等式选讲已知集合.（）若存在使不等式成立，求的取值范围；（）取为（）所求范围中的最小正整数，解不等式.天一大联考20202021学年高中毕业班阶段性测试（）理科数学答案、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.【答案】B【命题意图】本题考查集合的表示与运算，以及不等式的解法.【解析】，所以，只有一个元素.2.【答案】A【命题意图】本题考查复数的概念和
7、运算性质.【解析】由题意可得，则.3.【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算.【解析】，所以，解得（负值舍去）.4.【答案】D【命题意图】本题考查指数、对数函数的性质以及不等式的性质.【解析】，.5.【答案】B【命题意图】本题考查排列组合的综合应用.【解析】不同的选派方法有种.6.【答案】D【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征.【解析】如图所示，由正力体的性质可知，垂直于平面和平面，设和分别是平面和平面与线段的交点，易知，当平面取平面或平面时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，要满足条件，应在线段或上取点，而，所以所求的概率为.7.【答案】C【命题意图】本题考查函数的图象
8、与性质.【解析】因为，所以为奇函数，排除B，时，所以在上单调递增，选C.8.【答案】C【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用.【解析】由得，由及正弦定理得，又根据余弦定理，得，所以，于是.9.【答案】B【命题意图】本题考查不等式与平面区域.【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.表示阴影部分上的动点与定点连线的斜率加1.易求得，则，所以.10.【答案】A【命题意图】本题考查向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质.【解析】，令，则，或，或.11.【答案】B【命题意图】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系.【解析】由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，
9、将点代入双曲线方程得.根据对称性，不妨设点在第一象限，到轴的距离为.，由余弦定理得，所以，由三角形面积公式可得，得.12.【答案】C【命题意图】本题考查不等式的概念以及利用导数研究函数.【解析】不等式即，则曲线位于直线的上方，当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.当时，直线与曲线没有交点，满足条件.当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点，代入方程得，此时切线斜率为，由图可知，即.综上.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】11【命题意图】本题考查回归方程的概念与性质.【解析】回归直线经过样本中心点，解得.14.【答案】【命题意图】本题考查三角函数求值，
10、三角恒等变换的应用.【解析】由题意得，整理得，解得.所以.15.【答案】【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征，多面体与球的关系.【解析】由已知可得，所以，又因为，所以平面，四面体的体积，当时最大，把四面体补全为长方体，则它的外接球的直径即长方体的体对角线，所以外接球的表面积为.16.【答案】3或【命题意图】本题考查抛物线的方程和性质、抛物线与直线的位置关系.【解析】由条件可得抛物线的方程为，设的方程为，联立抛物线方程消去得，则，因此，解得，代入，解得或.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本题考查等差数列，等比数列的性质，求和公式.【解析】（）因
11、为，成等差数列，所以，整理可得，所以的公比为-2.又，得，所以，.（）因为，所以.于是，又因为，所以.18.【命题意图】本题考查四棱锥的结构特征，空间位置关系的证明，空间角的计算，以及空间向量的应用.【解析】（）因为四棱锥的底面是矩形，所以，因为平面平面，且交线为，所以平面.所以.又因为，且，所以平面.所以.（）由和（）可知，所以，为等腰直角三角形.如图，以为轴，为轴建立空间直角坐标系.设，则.则，.，.因为平面，所以是面的一个法向量.设平面的一个法向量为，则，可取.所以，根据题意可知，解得.19.【命题意图】本题考查直线、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系.【解析】（）设椭圆的焦距为，直线恒
12、过定点，所以.当时，直线：，椭圆的下顶点到直线的距离，由题意得，解得，.所以椭圆的方程为.（）当时，显然在轴上存在点，使得.当时，由消去可得.设，则，.设点满足题设条件，易知，的斜率存在，则，则，即，时，上式恒成立.所以在轴上存在点满足题设条件.20.【命题意图】本题考查概率的概念、事件的关系以及概率的运算性质.【解析】（）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.所以甲获得冠军的概率为.（）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜.所以甲与乙在决赛相遇的概率为.若乙的决
13、赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜.同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为.丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为.21.【命题意图】本题考查导数的计算，利用导函数研究函数的性质.【解析】（）的定义域为，.令可得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.即的最大值为，没有最小值.（）由题意知.由得.设，则，令得，当时，单调递增；当时，单调递减.所以.设，当时，所以，即，.由可得，因此原命题正确.22.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标系，直线参数方程中参数的几何意义.【解析】（）由，可知圆的直角坐标方程为，即，所以圆的圆心的直角坐标为，半径为1.（）当时，由直线的参数方程得，所以点在上，将的参数方程改写为（为参数）.代入圆的方程中，整理得，由参数的几何意义得.23.【命题意图】本题考查绝对值不等式相关的综合问题.【解析】（）设，因为，存在使不等式成立，等价于，当即时，故所求的的取值范围是.（）由题意知.当时，原不等式转化为，无解；当时，原不等式转化为，解得；当时，原不等式转化为，解得.综上，不等式的解集为.
